2年模拟（新课标）高考数学一轮复习 6.4数列求和及数列的综合问题.doc

6.4数列求和及数列的综合问题a组20142015年模拟基础题组限时:35分钟1.(2014北京房山二模,6)abc中,tan a是以-4为第三项,-1为第七项的等差数列的公差,tan b是以为第三项,4为第六项的等比数列的公比,则该三角形的形状是()a.钝角三角形 b.锐角三角形c.等腰直角三角形 d.以上均错2.(2014湖北黄冈一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割比0.618 033 988 7.人们称该数列an为“斐波那契数列”.若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn,在数列bn中第2 014项的值是;数列bn中,第2 014个值为1的项是第项.3.(2015河北重点中学期中,19)设不等式组所表示的平面区域为dn,记dn内整点的个数为an(横、纵坐标均为整数的点称为整点).(1)先在平面直角坐标系中作出平面区域d2,再求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)记数列an的前n项和为sn,试证明:对任意nn*,恒有+成立.4.(2014浙江宁波一模,19)设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=(nn*).(1)求数列an的通项;(2)设bn=,求数列bn的前n项和sn.5.(2014陕西商洛一模,17)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=.(1)当nn*时,求f(n)的表达式;(2)设an=nf(n),nn*,求证:a1+a2+a3+an对一切nn*都成立的正整数k的最大值;(3)设f(n)=是否存在mn*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.4.(2014北京西城二模,20)在无穷数列an中,a1=1,对于任意nn*,都有ann*,an0,tan3b=8,tan b=20,角a、b均为锐角.tan(a+b)=-0,角a+b为钝角,即角c为锐角,abc为锐角三角形.2.答案3;4 027解析经过计算知,数列bn是周期为6的周期数列,前6项为:1,1,2,3,1,0,又2 014=6335+4,第2 014项的值是3.每个周期内含有三个值为1的项,2 014=3671+1,第2 014个值为1的项是第6671+1=4 027项.3.解析(1)平面区域d2如图中阴影部分所示,易知a2=1+3+5+7+9=25.(2)直线y=nx与x=4交于点(4,4n),据题意有an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5.(3)由(2)可知an为以15为首项,10为公差的等差数列,易得sn=5n(n+2).=,+=-+-+-=+-.4.解析(1)a1+3a2+32a3+3n-1an=,a1=,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=(n2),-,得3n-1an=-=(n2),化简得an=(n2).显然a1=也满足上式,故an=(nn*).(2)由(1)得bn=n3n.于是sn=13+232+333+n3n,3sn=132+233+334+n3n+1,-,得-2sn=3+32+33+3n-n3n+1,即-2sn=-n3n+1,sn=3n+1+.5.解析(1)令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1)=f(n),f(n)是首项为,公比为的等比数列,f(n)=.(2)设tn为an的前n项和,an=nf(n)=n,tn=+2+3+n,tn=+2+3+(n-1)+n,两式相减得tn=+-n,tn=2-n0;当n=9时,bn=0;当n9时,bn0.当n=8或9时,sn取得最大值.b组20142015年模拟提升题组1.a若a8=-0.4,则当a7=0.7时,有d=-1.10,与图象信息矛盾;当a7=-0.8时,有d=0.40,数列an单调增,可知s70,与s8=-0.4矛盾.a7=-0.8,s7=0.7.则a8=s8-s7=-1.1,则d=-0.3,a1=1.an=1+(n-1)(-0.3)=1.3-0.3n.当1n4时,an0,当n4时,an0,tn单调递增,故(tn)min=t1=.(8分)令,得k671,所以kmax=671.(10分)(3)f(n)=当m为奇数时,m+15为偶数,要使f(m+15)=5f(m),则3m+47=5m+25,m=11.(12分)当m为偶数时,m+15为奇数,要使f(m+15)=5f(m),则m+20=15m+10,m=n*(舍去).(13分)综上,存在唯一正整数m=11,使得f(m+15)=5f(m)成立.(14分)4.解析(1)b1=1,b2=1,b3=2.(3分)(2)由题意,得1=a1a2a3an2,即a2=k2,则当n2时,an2;当n3时,ank+1.所以b2=1,bk=2.因为bn为等差数列,所以公差d=b2-b1=0,所以bn=1,其中nn*.这与bk=2(k2)矛盾,所以a2=2.(6分)又因为a1a2a3an1),因为a1a2a3ank),则bk=bk+1=bl-1=2,且bl=3,所以数列bn中等于2的项有l-k个,即a3-a2个;(10分)依此类推,数列bn中等于p-1的项有a