【三维设计】高考数学大一轮复习讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第十六章 不等式选讲 理 苏教版(1).DOC

第十六章不等式选讲第一节绝对值不等式1绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)r(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想1对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件对|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立，对|a|b|ab|a|b|，如果ab0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c0则不等式解集为r.试一试1已知不等式|2xt|t10的解集为(，)，则t_.解析：|2xt|1t，t12xt1t，2t12x1，txk的解集为r，则实数k的取值范围为_解析：法一：根据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为p，a，b，则原不等式等价于|pa|pb|k恒成立|ab|3，即|x1|x2|3.故当kk恒成立，从图像中可以看出，只要k3即可故k3满足题意答案：(，3)含绝对值不等式的常用解法1基本性质法：对ar，|x|aaxaxa.2平方法：两边平方去掉绝对值符号3零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解4几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解5数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解练一练1在实数范围内，不等式|2x1|2x1|6的解集为_解析：法一：分类讨论去绝对值号解不等式当x时，原不等式转化为4x6x；当x时，原不等式转化为26，恒成立；当x0的解集为_解析：原不等式等价于|x2|x1|，则(x2)2(x1)2，解得x.答案：2(2014西安质检)若关于x的不等式|xa|1的解集为(1,3)，则实数a的值为_解析：原不等式可化为a1xa1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a2.答案：23如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：注意到|x3|x4|(x3)(x4)|1，1|x3|x4|1.若不等式|x3|x4|a的解集是空集，则有|x3|x4|a对任意的xr都成立，即有(|x3|x4|)mina，a1.因此，由不等式|x3|x4|1.答案：(1，)备课札记 类题通法利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏考点二绝对值不等式的证明典例(2014长春联考)已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为m.(1)求m；(2)当a，bm时，证明：2|ab|4ab|.解：(1)f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2，m(2,2)(2)证明：a，bm即2a2，2b2.4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|4ab|.备课札记 本例中f(x)若变为“f(x)|x1|x1|a”且f(x)0对xr恒成立，求a的取值范围.解：由f(x)0知a|x1|x1|，又|x1|x1|(x1)(x1)|2，a2.故a的取值范围为(2，)类题通法证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明针对训练设函数f(x)|x1|x2|.(1)求证：f(x)1；(2)若f(x)成立，求x的取值范围解：(1)证明：f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1.(2)2，要使f(x)成立，需且只需|x1|x2|2，即或或解得x或x，故x的取值范围是.考点三绝对值不等式的综合应用典例(2013新课标卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y5；(2)已知关于x的不等式f(x)a0，则x4，原不等式的解集为(，1)(4，)(2)f(x)a|xa|x2|a|a2|a，又关于x的不等式f(x)a2 014的解集是非空集合，|a2|a2 014，解得a1 006.课堂练通考点1(2013江西高考)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_解析：依题意得1|x2|11，即|x2|2，解得0x4.答案：0,42(2013重庆高考)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_解析：|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案：(，83(2014南昌模拟)若对任意的ar，不等式|x|x1|1a|1a|恒成立，则实数x的取值范围是_解析：由|1a|1a|2得|x|x1|2，当x1时，xx12，x.综上，x或x.答案：(，)4(2014西安检测)已知函数f(x)|x2|，g(x)|x3|m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为_解析：函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，即为|x2|x3|m对任意实数x恒成立，即|x2|x3|m恒成立因为对任意实数x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，所以m5，即m的取值范围是(，5)答案：(，5)5(2014长春模拟)已知实数t，若存在t，3使得不等式|t1|2t5|x1|x2|成立，求实数x的取值范围解：t，3，|t1|2t5|可得其最大值为.只需解不等式|x1|x2|即可，当x2时，可解得2x，当1x2时不等式恒成立，当x1时可解得x1，综上可得x的取值范围为，课下提升考能1(2013福建高考)设不等式|x2|a(an*)的解集为a，且a，a.(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解：(1)因为a，且a，所以a，且a，解得0.(1)当a2时，求不等式f(x)2x1的解集；(2)若x(2，)时，恒有f(x)0，求a的取值范围解：(1)a2时，|x2|2x2x1，|x2|1，x3或x1.不等式的解集为(，13，)(2)依题意，f(x)a0，当x2时，f(x)xa2a，要使f(x)0，只需2a0即可，a2.故a的取值范围为2，)3已知函数f(x)|xa|2|x1|(ar)(1)当a3时，求函数f(x)的最大值；(2)解关于x的不等式f(x)0.解：(1)当a3时，f(x)|x3|2|x1|当x1时，f(x)x1，所以f(x)在(，1上单调递增；当1x1时，不等式的解集为2a，；当a1时，不等式的解集为x|x1；当a0；(2)若g(x)|x3|m，f(x)1x2，即x11x2或x11x2得x1或x2；由x11或x1或x0.(2)原不等式等价于|x1|x3|m的解集非空令h(x)|x1|x3|，即h(x)min4.5设函数f(x)(1)当a5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为r，试求a的取值范围解：(1)当a5时，f(x)，由|x1|x2|50得或或解得x1或x4.即函数f(x)的定义域为x|x1或x4(2)由题可知|x1|x2|a0恒成立，即a|x1|x2|恒成立，而|x1|x2|(x1)(x2)|1，所以a1，即a的取值范围为(，16已知函数f(x)|x2|2|xa|(ar)(1)当a1时，解不等式f(x)3；(2)不等式f(x)1在区间(，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，原不等式可化为解得x；此时无解；解得x2时，f(x)当a2时，f(x)当a2时，f(x)f(x)的最小值为f(2)或f(a)，则解得a1或a3.故实数a的取值范围为(，13，)7(2014郑州模拟)已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(x)3得，|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，58设二次函数f(x)ax2bxc(a，b，cr)满足下列条件：当xr时，f(x)的最小值为0，且f(x1)f(x1)恒成立；当x(0,5)时，xf(x)2|x1|1恒成立(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m1)，使得存在实数t，当x1，m时，f(xt)x恒成立解：(1)在中令x1，有1f(x)1，故f(1)1.(2)由知二次函数的图像关于直线x1对称，且开口向上，故设此二次函数为f(x)a(x1)2(a0)因为f(1)1，所以a，所以f(x)(x1)2.(3)f(x)(x1)2的图像开口向上，而yf(xt)的图像是由yf(x)的图像向左或向右平移|t|个单位得到的，要在区间1，m上使得yf(xt)的图像在yx的图像下方，且m最大，则1和m应当是方程(xt1)2x的两个根令x1代入方程，得t0或4.当t0时，方程的解为x1x21(这与m1矛盾，舍去)；当t4时，方程的解为x11，x29，所以m9.又当t4时，对任意x1,9，yf(x4)x(x3)2x(x210x9)(x5)240，即f(x4)x恒成立所以最大的实数m为9.第二节不等式的证明及柯西不等式1不等式证明的方法(1)比较法：求差比较法：知道abab0，ababb只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法(3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法(4)反证法和放缩法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(aa)(bb)(a1b1a2b2)2(当且仅当a1b2a2b1时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|.二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2r，那么 .柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi(i1,2，n)时，等号成立(2)平均值不等式：定理：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立我们称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a，b，c的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术几何平均值不等式，简称为平均值不等式一般形式的算术几何平均值不等式：如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立1使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件2易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果试一试1已知x2y210，则3x4y的最大值为_解析：(3242)(x2y2)(3x4y)2，当且仅当3y4x时等号成立，2510(3x4y)2，(3x4y)max5.答案：52已知a，b，cr，则与的大小关系是_解析：2.所以.答案：放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度(2)常见的放缩技巧有：(k2，kn*)；(k2，且kn*)练一练设m，则m与1的大小关系是_解析：2101210,2102210，2111210，m1.210个答案：mba，求证：a2bb2cc2aba，ba0，cb0，ca0.ab2bc2ca2a2bb2cc2a.即a2bb2cc2ab0时，1，0，则1.当ba0时，01，1.综上可知，当a，b(0，)时，aabb(ab)成立备课札记 类题通法对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号考点二综合法与分析法典例(1)已知a，b，c均为正数，且abc1，求证：9.(2)已知abc，且abc0，求证：a.证明：(1)法一：(abc)339(当且仅当abc时等号成立)法二：332229(当且仅当abc时等号成立)(2)要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0.(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立.在本例(1)的条件下求证：(a)2(b)2(c)2.证明：222(121212)2222222(19)2.当且仅当abc时，等号成立备课札记 类题通法分析法与综合法常常结合使用，实际是以分析法为主，借助综合法，使证明的问题明朗化针对训练已知a0，b0,2cab，求证：cac.证明：法一(分析法)要证cac，即证ac，即证|ac|，即证(ac)2c2ab，即证a22ac0，所以只要证a2cb，即证ab2c.由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立法二(综合法)因为ab2c，所以a2c0，所以a22acab，所以(ac)2c2ab，所以|ac|，所以ac，所以ca4.证明0xi，其中i1,2,3，n，n . ， n，n2224，4.备课札记 类题通法放缩法证明不等式时，常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头针对训练设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，b0)，则利用柯西不等式判断a2b2与(xy)2的大小关系为_解析：1，a2b2(a2b2)2(xy)2.答案：a2b2(xy)23设x，y，z均为实数，则的最大值是_解析：由柯西不等式知(x22y2z2)222(1)2(2xyz)2.当且仅当2yz0时等号成立答案：4(2013全国卷)设a，