高考数学 考点单元复习教案16.docVIP

考纲导读解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识网络解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习高考导航正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明基础过关第1课时 三角形中的有关问题典型例题变式训练1：(1)的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ）a b c d解：b 提示：利用余弦定理（2）在abc中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）a.b. c.d. 解：c 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在abc中，已知，则的值为（ ）a b c 或 d 解：a 提示:在abc中，由 知角b为锐角（4）若钝角三角形三边长为、，则的取值范围是 解： 提示：由可得（5）在abc中，= 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得 例3. 已知在abc中，sina(sinbcosb)sinc0，sinbcos2c0，求角a、b、c解：由sina(sinbcosb)sinc0，得sinasinbsinacosbsin(ab)0，所以sinb(sinacosa)0b(0, ), sinb0, cosasina，由a(0, )，知a从而bc，由sinbcos2c0得sinbcos2(b)0cos(2b)cos2(2b)cos(2b)sin2b得sinbsin2b0，亦即sinb2sinbcosb0，由此各cosb，b，ca b c变式训练3：已知abc中，2（sin2asin2c）=（ab）sinb，abc外接圆半径为.（1）求c；（2）求abc面积的最大值.解：（1）由2（sin2asin2c）=（ab）sinb得2（）=（ab）.又r=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosc=.又0c180，c=60.（2）s=absinc=ab=2sinasinb=2sinasin（120a）=2sina（sin120cosacos120sina）=3sinacosa+sin2a=sin2acos2a+=sin（2a30）+.当2a=120，即a=60时，smax=. 小结归纳小结归纳基础过关第2课时 应用性问题1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；实际问题中有关术语、名称（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角典型例题例1(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 （ ） （a） （b） （c）或 （d）3解：c 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）a b c d 解：a（3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上a点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得a点处的俯角为，则山的高度为（ ）a b c d 解： b （4）已知轮船a和轮船b同时离开c岛，a向北偏东方向，b向西偏北方向，若a的航行速度为25 nmi/h，b的速度是a的，过三小时后，a、b的距离是 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h的速度由b到c航行，航向为方位角，a处有灯塔， 其方位角，在c处观测灯塔a的 方位角，由b到c需航行半小时， 则c到灯塔a的距离是 解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1：如图，当甲船位于a处时获悉，在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里c处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往b处救援（角度精确到1）？北2010abc解：连接bc,由余弦定理得bc2=202+10222010cos120=700. 于是,bc=10. , sinacb=, acb90 acb=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往b处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市o(如图)的东偏南方向300 km的海面p处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市o受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于po=300,pq=20t故即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时变式训练2：如图所示,海岛a周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在b处测得岛a在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在c处测得岛a在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在abc中，bc=30， 所以 ，由正弦定理可知： 所以，于是a到bc所在直线的距离为所以船继续向南航行无触礁危险。例3. 如图所示，公园内有一块边长的等边abc形状的三角地，现修成草坪，图中de把草坪分成面积相等的两部分，d在ab上，e在ac上.（1）设ad，ed，求用表示的函数关系式；（2）如果de是灌溉水管，为节约成本希望它最短，de的位置应该在哪里？如果de是参观线路，则希望它最长，de的位置又在哪里？请给予证明.解：（1）在abc中，d在ab上，sade=sabc ，在ade中，由余弦定理得： （2）令 ，则 则令 ，则；有最小值，此时debc，且 有最大值，此时de为abc 的边ab或ac的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为s，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？解：设 ，则， 所以 设两腰与下底之和为，则 当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小例4. 如图，半圆o的直径为2，a为直径延长线上的一点，oa=2，b为半圆上任意一点，以ab为一边作等边三角形abc。问：点b在什么位置时，四边形oacb面积最大？解：设，在aob中，由余弦定理得： 于是，四边形oacb的面积为 s=saob+ sabc 因为，所以当，即时，四边形oacb面积最大变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨a上午11时测得一轮船在海岛北偏东的c处，12时20分测得船在海岛北偏西的b处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的e港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从c到b用时80分钟，从b到e用时20分钟， 而船始终匀速前进，由此可见：bc=4eb，设eb=，则 则bc=4，由已知得在aec中，由正弦定理得： 在abc中，由正弦定理得：在abe中，由余弦定理得： 所以船速 答：该船的速度为 km/h解三角形章节测试题一、选择题1在中，则的面积是（）ab c d2在中，若，则的值为（）a b c d3在中，若，则这个三角形中角的值是（）a或b或c或d或 4在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）a，b，c， d，5已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是（）ab c d 6在中，如果，那么角等于（）ab c d7在中，若，此三角形面积，则的值是（）abc d 8在abc中，ab=3，bc=，ac=4，则边ac上的高为（ ）a b c d9在中，若，则（）a b c d10如果满足，的abc恰有一个，那么的取值范围是（）a b c d或二、填空题11在中，若，则最大角的余弦值等于_12在中，则此三角形的最大边的长为_13在中，已知，则_14在中，则_，_三、解答题15abc中，d在边bc上，且bd2，dc1，b60o，adc150o，求ac的长及abc的面积16在abc中，已知角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bcosbccoscacosa，试判断abc的形状17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从a地出发由西向东航行，望见小岛b在北偏东75，航行8海里到达c处，望见小岛b在北端东60。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？18如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行为了确定船位，在b点处观测到灯塔a的方位角为122o半小时后，货轮到达c点处，观测到灯塔a的方位角为32o求此时货轮与灯塔之间的距离a c b北北152o32 o122o19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取1.4,1.7）20如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点a处有一个水声监测点，另两个监测点b，c分别在a的正东方20 km处和54 km处某时刻，监测点b收到发自静止目标p的一个声波，8s后监测点a，20 s后监测点c相继收到这一信号在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1. 5 km/s. （1）设a到p的距离为 km，用表示b,c到p 的距离，并求值； （2）求静止目标p到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）.解三角形章节测试参考答案1c 2.b 3.d 4.d 5.b 6.b7.d. 8.b 9 a 10.d11 12、 13、6或3 14、15在abc中，bad150o60o90o，ad2sin60o在acd中，ad2()21221cos150o7，acab2cos60o1sabc13sin60o16 bcosbccoscacosa，由正弦定理得：sinbcosbsinccoscsinacosa，即sin2bsin2c2sinacosa，2sin(bc)cos(bc)2sinacosaabc，sin(bc)sina而sina0，cos(bc)cosa，即cos(bc)cos(bc)0，2cosbcosc0 0b，0c，b或c，即abc是直角三角形17、解：过点b作bdae交ae于d 由已知，ac=8，abd=75，cbd=60在rtabd中，ad=bdtanabd=bdtan 75在rtcbd中，cd=bdtancbd=bdtan60adcd=bd（tan75tan60）=ac=8,9分该军舰没有触礁的危险。18在abc中，b152o122o30o，c180o152o32o60o，a180o30o60o90o，bc，acsin30o答：船与灯塔间的距离为n mile19. 解：如图 150450300， ab= 180km（千米）/h（小时）