中考数学一轮复习 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系（试卷部分）课件1.ppt

第五章圆 5 1圆的性质及与圆有关的位置关系 中考数学 湖南专用 a组2014 2018年湖南中考题组 五年中考 考点一圆的有关概念与性质 1 2018湖南邵阳 6 3分 如图所示 四边形abcd为 o的内接四边形 bcd 120 则 bod的大小是 a 80 b 120 c 100 d 90 解题关键本题考查的是圆内接四边形的性质 圆周角定理 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 思路分析根据圆内接四边形的性质求出 a 再根据圆周角定理解答 答案b 四边形abcd为 o的内接四边形 bad 180 bcd 60 由圆周角定理得 bod 2 a 120 故选b 2 2018湖南张家界 6 3分 如图 ab是 o的直径 弦cd ab于点e oc 5cm cd 8cm 则ae a 8cmb 5cmc 3cmd 2cm 答案a因为ab是 o的直径 弦cd ab于点e 所以根据垂径定理可得ec ed cd 4cm 所以在rt oec中 根据勾股定理可得oe 3cm 所以ae ao oe 8cm 3 2017湖南张家界 3 3分 如图 在 o中 ab是直径 ac是弦 连接oc 若 aco 30 则 boc的度数是 a 30 b 45 c 55 d 60 答案d oa oc a aco 30 boc 2 a 2 30 60 思路分析先根据等腰三角形的性质得出 a的度数 再根据圆周角定理求出 boc的度数 4 2016湖南张家界 6 3分 如图 ab是 o的直径 bc是 o的弦 若 obc 60 则 bac的度数是 a 75 b 60 c 45 d 30 答案d ab是 o的直径 acb 90 又 obc 60 bac 180 acb abc 180 90 60 30 故选d 思路分析根据ab是 o的直径可得出 acb 90 再根据三角形内角和为180 以及 obc 60 即可求出 bac的度数 解题关键本题考查了圆周角定理以及角的计算 解题的关键是得出 acb 90 即直径所对的圆周角为90 5 2015湖南株洲 6 3分 如图 圆o是 abc的外接圆 a 68 则 obc的大小是 a 22 b 26 c 32 d 68 答案a由题可知 boc 2 a 136 bo oc obc ocb 22 故选a 思路分析先根据圆周角定理即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求出 boc的度数 再根据等腰三角形的性质得出 obc的度数 审题技巧在圆中 可通过圆心角的度数求同弧所对的圆周角的度数 也可通过圆周角的度数求同弧所对的圆心角的度数 6 2015湖南湘潭 7 3分 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 若 dab 60 则 bcd的度数是 a 60 b 90 c 100 d 120 答案d 四边形abcd是 o的内接四边形 dab bcd 180 dab 60 bcd 180 60 120 故选d 思路分析根据圆内接四边形的对角互补求出答案 解题关键本题考查的是圆内接四边形的性质 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 7 2015湖南永州 6 3分 如图 p是 o外一点 pa pb分别交 o于c d两点 已知和所对的圆心角分别为90 和50 则 p a 45 b 40 c 25 d 20 答案d 和所对的圆心角分别为90 和50 a 25 adb 45 p a adb p adb a 45 25 20 故选d 思路分析根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得 adb和 cad的度数 再由三角形外角的性质求解 易错警示 不会合理运用圆周角定理 不理解三角形外角的性质 8 2017湖南长沙 15 3分 如图 ab为 o的直径 弦cd ab于点e 已知cd 6 eb 1 则 o的半径为 答案5 解析连接oc 设圆o的半径为r 则oe r 1 根据垂径定理可得ce 3 在rt oce中 由勾股定理可得 ce2 oe2 oc2 即32 r 1 2 r2 解得r 5 故 o的半径为5 方法总结在已知直径与弦垂直的问题中 通常连接半径构造直角三角形 其中斜边为圆的半径 两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离 从而运用勾股定理来计算 9 2017湖南湘潭 13 3分 如图 在 o中 已知 aob 120 则 acb 答案60 解析 aob 120 点c在 o上 acb aob 60 10 2016湖南株洲 25 10分 已知ab是半径为1的圆o直径 c是圆上一点 d是bc延长线上一点 过点d的直线交ac于e点 且 aef为等边三角形 1 求证 dfb是等腰三角形 2 若da af 求证 cf ab 证明 1 ab是 o的直径 acb 90 aef为等边三角形 cab efa 60 b 30 efa b fdb b fdb 30 dfb是等腰三角形 2 过点a作am df于点m 设af 2a a 0 aef是等边三角形 fm em a am a 在rt dam中 ad af 2a am a dm 5a df bf 6a ab af bf 8a 在rt abc中 b 30 acb 90 ac 4a ae ef af ce 2a ecf efc aef ecf efc 60 cfe 30 afc afe efc 60 30 90 cf ab 思路分析 1 由ab是 o的直径 得到 acb 90 由 aef为等边三角形 得到 cab e fa 60 根据三角形的外角的性质即可得到结论 2 过点a作am df于点m 设af 2a a 0 根据等边三角形的性质得到fm em a am a 再根据已知条件得到ab af bf 8a 根据直角三角形的性质得到ae ef af ce 2a 推出 ecf efc 根据三角形内角和定理即可得到结论 11 2015湖南衡阳 26 8分 如图 ab是 o的直径 点c d为半圆o的三等分点 过点c作ce ad 交ad的延长线于点e 1 求证 ce为 o的切线 2 判断四边形aocd是否为菱形 并说明理由 解析 1 证明 连接od 点c d为半圆o的三等分点 boc bod 又 bad bod boc bad ae oc ad ec oc ec oc为 o的半径 ce为 o的切线 2 四边形aocd是菱形 理由如下 点c d为半圆o的三等分点 aod cod 60 oa od oc aod和 cod都是等边三角形 oa ad dc oc od 四边形aocd是菱形 考点二与圆有关的位置关系 1 2016湖南邵阳 9 3分 如图所示 ab是 o的直径 点c为 o外一点 ca cd是 o的切线 a d为切点 连接bd ad 若 acd 30 则 dba的大小是 a 15 b 30 c 60 d 75 答案d ca cd是 o的切线 a d为切点 cab 90 ca cd 故 cad是等腰三角形 c 30 cad cda 75 bad 15 ab是 o的直径 bda 90 dba 75 故选d 2 2016湖南湘西 18 4分 在rt abc中 c 90 bc 3cm ac 4cm 以点c为圆心 2 5cm长为半径画圆 则 c与直线ab的位置关系是 a 相交b 相切c 相离d 不能确定 答案a过c作cd ab于d 如图所示 在rt abc中 c 90 ac 4cm bc 3cm ab 5cm abc的面积 ac bc ab cd 3 4 5cd cd 2 4cm 2 5cm c与直线ab的位置关系是相交 故选a 思路分析要判断直线与圆的位置关系 应求出点c到直线ab的距离 于是过c作cd ab于d 根据勾股定理求出ab 再根据三角形的面积公式求出cd 比较cd长和半径的大小 根据直线和圆的位置关系即可得出结论 解题关键本题考查的是直线与圆的位置关系 解答本题的关键是求出点c到ab的距离 3 2018湖南湘潭 13 3分 如图 ab是 o的切线 点b为切点 若 a 30 则 aob 答案60 解析 ab是 o的切线 oba 90 aob 90 a 60 故答案为60 思路分析根据切线的性质得到 oba 90 根据直角三角形的性质计算即可 解题关键本题考查的是切线的性质 掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 4 2018湖南长沙 18 3分 如图 点a b d在 o上 a 20 bc是 o的切线 b为切点 od的延长线交bc于点c 则 ocb 度 答案50 解析由题意知 boc 2 a 40 直线bc与 o相切 obc 90 在 obc中 ocb 180 90 40 50 5 2017湖南岳阳 16 4分 如图 o为等腰 abc的外接圆 直径ab 12 p为上任意一点 不与b c重合 直线cp交ab延长线于点q o在点p处的切线pd交bq于点d 下列结论正确的是 写出所有正确结论的序号 若 pab 30 则的长为 若pd bc 则ap平分 cab 若pb bd 则pd 6 无论点p在上的位置如何变化 cp cq恒为定值 答案 解析如图 连接op pb ao op pab 30 pob 60 ab 12 ob 6 的长为 2 故 错误 pd是 o的切线 op pd pd bc op bc pac pab ap平分 cab 故 正确 pb bd bpd bdp op pd bpd bpo bdp bop bop bpo bp bo po 6 即 bop是等边三角形 pd op 6 故 正确 ac bc bac abc 又 acp qca acp qca 即cp cq ca2 定值 故 正确 解题关键本题主要考查了相似三角形的判定与性质 垂径定理 切线的性质以及弧长公式等 解决问题的关键是作辅助线构造三角形 解题时注意 垂直弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 又 abc apc apc bac 6 2018湖南邵阳 21 8分 如图所示 ab是 o的直径 点c为 o上一点 过点b作bd cd 垂足为点d 连接bc bc平分 abd 求证 cd为 o的切线 证明 bc平分 abd obc dbc ob oc obc ocb ocb dbc oc bd bd cd oc cd cd为 o的切线 思路分析先利用bc平分 abd得到 obc dbc 再证明oc bd 从而得到oc cd 然后根据切线的判定定理得到结论 评析本题考查了切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 7 2018湖南永州 24 10分 如图 线段ab为 o的直径 点c e在 o上 cd ab 垂足为点d 连接be 弦be与线段cd相交于点f 1 求证 cf bf 2 若cos abe 在ab的延长线上取一点m 使bm 4 o的半径为6 求证 直线cm是 o的切线 证明 1 延长cd交 o于g 如图 cd ab cbe gcb cf bf 2 连接oc 交be于点h 如图 oc be 在rt obh中 cos obh bh 6 oh 又 hob com ohb ocm ocm ohb 90 oc cm 直线cm是 o的切线 思路分析 1 延长cd交 o于g 利用垂径定理得到 则可证明 然后根据圆周角定理得 cbe gcb 从而得到cf bf 2 连接oc 交be于h 先利用垂径定理得到oc be 再在rt obh中利用解直角三角形得到bh oh 接着证明 ohb ocm 得到 ocm ohb 90 然后根据切线的判定定理得到结论 8 2017湖南怀化 23 8分 如图 已知bc是 o的直径 点d为bc延长线上的一点 点a为圆上一点 且ab ad ac cd 1 求证 acd bad 2 求证 ad是 o的切线 证明 1 ab ad b d ac cd cad d cad b 又 d d acd bad 2 连接oa oa ob b oab 由 1 知 b cad oab cad bc是 o的直径 bac 90 oad 90 oa ad ad是 o的切线 9 2016湖南常德 24 8分 如图 已知 o是 abc的外接圆 ad是 o的直径 且bd bc 延长ad到e 且有 ebd cab 1 求证 be是 o的切线 2 若bc ac 5 求 o的直径ad及切线be的长 解析 1 证明 如图 连接ob oa ob 3 4 bd bc 2 3 又 1 2 1 4 2分 ad是 o的直径 4 obd 90 1 obd 90 即ob be 且be过半径的外端点 be是 o的切线 4分 2 连接cd 设ob与cd交于h 圆的半径为r 由 1 的证明过程知 2 4 ob ac o是ad的中点 oh ac 且oh cd 5分 od2 oh2 hd2 r2 hd2 bd2 bh2 2 r 3 直径ad 6 6分 ab o是四边形adbc的外接圆 acb adb 180 而 bde adb 180 acb bde 又 1 2 dbe cab 7分 即 be 8分 10 2015湖南长沙 24 9分 如图 在直角坐标系中 m经过原点o 0 0 点a 0 与点b 0 点d在劣弧oa上 连接bd交x轴于点c 且 cod cbo 1 求 m的半径 2 求证 bd平分 abo 3 在线段bd的延长线上找一点e 使得直线ae恰好为 m的切线 求此时点e的坐标 解析 1 因为 aob为直角 所以ab是 m的直径 又因为点a的坐标为 0 点b的坐标为 0 所以oa ob 在rt aob中 ab 2 所以 m的半径为 2 证明 因为 cod cbo 而 cod abd 所以 abd cbo 故bd平分 abo 3 如图 因为ab为 m的直径 所以过点a作直线l ab 直线l与bd的延长线的交点即是所求的点e 此时直线ae必为 m的切线 在rt aob中 ob ab 2 所以 oab 30 所以 obc cab 30 所以oc eca eac 60 所以 eca为边长等于的正三角形 设点e坐标为 x y x y 所以点e的坐标为 b组2014 2018年全国中考题组 考点一圆的有关概念与性质 1 2017海南 12 3分 如图 点a b c在 o上 ac ob bao 25 则 boc的度数为 a 25 b 50 c 60 d 80 答案b oa ob bao 25 b 25 ac ob b cab 25 boc 2 cab 50 故选b 思路分析先根据oa ob bao 25 得出 b 25 再由平行线的性质得出 b cab 25 根据圆周角定理即可得出结论 解题关键本题考查的是圆周角定理 熟知在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键 2 2017内蒙古呼和浩特 7 3分 如图 cd为 o的直径 弦ab cd 垂足为m 若ab 12 om md 5 8 则 o的周长为 a 26 b 13 c d 答案b连接oa 设om 5x x 0 则md 8x oa od 13x 又 ab 12 ab cd am 6 在rt aom中 5x 2 62 13x 2 解得x 舍负 半径oa o的周长为13 方法规律如图 设圆的半径为r 弦长为a 弦心距为d 弓形的高为h 则 d2 r2 h r d或h r d 已知其中任意两个量即可求出其余两个量 3 2017云南 14 4分 如图 b c是 a上的两点 ab的垂直平分线与 a交于e f两点 与线段ac交于d点 若 bfc 20 则 dbc a 30 b 29 c 28 d 20 答案a bfc 20 bac 2 bfc 40 ab ac abc acb 70 ef是线段ab的垂直平分线 ad bd abd a 40 dbc abc abd 70 40 30 故选a 4 2015吉林长春 7 3分 如图 四边形abcd内接于 o 若四边形abco是平行四边形 则 adc的大小为 a 45 b 50 c 60 d 75 答案c设 adc x 则 aoc 2x 四边形abco是平行四边形 b aoc b d 180 x 2x 180 x 60 adc 60 故选c 5 2015甘肃兰州 9 4分 如图 经过原点o的 p与x y轴分别交于a b两点 点c是劣弧ob上一点 则 acb a 80 b 90 c 100 d 无法确定 答案b根据同弧所对的圆周角相等 得到 acb aob 90 故选b 6 2015山东临沂 8 3分 如图 a b c是 o上的三个点 若 aoc 100 则 abc等于 a 50 b 80 c 100 d 130 答案d如图 在优弧ac上任取一点d 连接ad cd aoc 100 adc aoc 50 adc abc 180 abc 180 50 130 故选d 7 2018湖北黄冈 11 3分 如图 abc内接于 o ab为 o的直径 cab 60 弦ad平分 cab 若ad 6 则ac 答案2 解析连接bd 因为ab为 o的直径 所以 adb 90 因为 cab 60 弦ad平分 cab 所以 bad 30 因为 cos30 所以ab 4 在rt abc中 ac ab cos60 4 2 考点二与圆有关的位置关系 1 2017上海 17 4分 如图 已知rt abc中 c 90 ac 3 bc 4 分别以点a b为圆心画圆 如果点c在 a内 点b在 a外 且 b与 a内切 那么 b的半径长r的取值范围是 答案8 r 10 解析 c 90 ac 3 bc 4 ab 5 a与 b内切 且点b在 a外 r ra ab r 5 ra 3 ra 5 8 r 10 解题关键明确两圆内切时 两圆半径与圆心距的关系 2 2015辽宁沈阳 11 4分 如图 在 abc中 ab ac b 30 以点a为圆心 以3cm为半径作 a 当ab cm时 bc与 a相切 答案6 解析作ad bc于点d 当bc与 a相切时 ad 3cm 在rt abd中 ad 3cm b 30 ab 6cm 当ab 6cm时 bc与 a相切 3 2014山东青岛 12 3分 如图 ab是 o的直径 bd cd分别是过 o上点b c的切线 且 bdc 110 连接ac 则 a的度数是 答案35 解析连接bc 易知db dc 所以 dbc 180 bdc 35 所以 a dbc 35 4 2017甘肃兰州 27 10分 如图 abc内接于 o bc是 o的直径 弦af交bc于点e 延长bc到点d 连接oa ad 使得 fac aod d baf 1 求证 ad是 o的切线 2 若 o的半径为5 ce 2 求ef的长 解析 1 证明 bc是 o的直径 bac 90 1分 baf fac 90 2分 fac aod d baf d aod 90 4分 oa ad oa为 o的半径 ad是 o的切线 5分 2 如图 连接bf be bc ce 2oc ce 10 2 8 ace oca fac aoc oac aec 6分 即 ae 7分 aec bef acb bfe aec bef 9分 即 ef 10分 方法规律在有关圆的问题中 有直径通常作直径所对的圆周角 构造直角三角形解决问题 有关切线的证明 遵循 有切点 连半径 证垂直 无切点 作垂直 证半径 的原则 关于圆的一些定理或推论形成的基本图形应熟记于心 并能在组合图形中识别 分解出来 5 2017山西 21 7分 如图 abc内接于 o 且ab为 o的直径 od ab 与ac交于点e 与过点c的 o的切线交于点d 1 若ac 4 bc 2 求oe的长 2 试判断 a与 cde的数量关系 并说明理由 解析 1 ab是 o的直径 acb 90 在rt abc中 由勾股定理得ab 2 ao ab 2 1分 od ab aoe acb 90 又 a a aoe acb 2分 oe 3分 2 cde 2 a 4分 理由如下 证法一 连接oc oa oc 1 a cd是 o的切线 oc cd ocd 90 2 cde 90 5分 od ab 2 3 90 3 cde 6分 3 a 1 2 a cde 2 a 7分 证法二 连接oc cd是 o的切线 oc cd 1 2 90 od ab aoe 90 a 3 90 5分 oa oc 1 a 2 3 6分 又 3 4 2 4 3 90 a cde 180 2 4 180 2 90 a 180 2 90 2 a 2 a 7分 解后反思求线段长度的方法 除了简单的直接加减之外 还可以把线段长度放在方程中求解 建立方程的常见方法 通过相似得到比例建立方程 通过勾股定理建立方程 通过三角函数建立边与边之间的关系 等等 在这几种方法的选择上 要具体问题具体分析 选择一种最简单的方法 c组教师专用题组 考点一圆的有关概念与性质 1 2018陕西 9 3分 如图 abc是 o的内接三角形 ab ac bca 65 作cd ab 并与 o相交于点d 连接bd 则 dbc的大小为 a 15 b 25 c 35 d 45 答案a ab ac bca 65 bca abc 65 bac 50 cd ab bac acd 50 根据圆周角定理的推论得 abd acd 50 所以 dbc abc abd 65 50 15 故选a 2 2017湖北宜昌 11 3分 如图 四边形abcd内接于 o ac平分 bad 则下列结论正确的是 a ab adb bc cdc d bca dca 答案b根据圆心角 弧 弦的关系 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 可知 a acb与 acd的大小关系不确定 ab与ad不一定相等 故本选项错误 b ac平分 bad bac dac bc cd 故本选项正确 c acb与 acd的大小关系不确定 与不一定相等 故本选项错误 d bca与 dca的大小关系不确定 故本选项错误 故选b 3 2017江苏南京 6 2分 过三点a 2 2 b 6 2 c 4 5 的圆的圆心坐标为 a b 4 3 c d 5 3 思路分析本题求过三点的圆的圆心坐标 先根据圆的对称性确定圆心的横坐标 再根据勾股定理求出半径 进而求出圆心的坐标 4 2017福建 8 4分 如图 ab是 o的直径 c d是 o上位于ab异侧的两点 下列四个角中 一定与 acd互余的角是 a adcb abdc bacd bad 答案d ab是 o的直径 adb 90 bad b 90 易知 acd b bad acd 90 故选d 5 2016安徽 10 4分 如图 rt abc中 ab bc ab 6 bc 4 p是 abc内部的一个动点 且满足 pab pbc 则线段cp长的最小值为 a b 2c d 答案b pab pbc pbc abp 90 pab abp 90 p 90 设ab的中点为o 则p在以ab为直径的圆上 当点o p c三点共线时 线段cp最短 ob ab 3 bc 4 oc 5 又op ab 3 线段cp长的最小值为5 3 2 故选b 6 2014甘肃兰州 13 4分 如图 cd是 o的直径 弦ab cd于e 连接bc bd 下列结论中不一定正确的是 a ae beb c oe ded dbc 90 答案c cd是 o的直径 且cd ab ae be cd是 o的直径 dbc 90 但不能得出oe de 故选c 评析本题考查了垂径定理 属容易题 7 2015上海 6 4分 如图 已知在 o中 ab是弦 半径oc ab 垂足为点d 要使四边形oacb为菱形 还需添加一个条件 这个条件可以是 a ad bdb od cdc cad cbdd oca ocb 答案b根据垂径定理知od垂直平分ab 所以添加od cd 即可判定四边形oacb是菱形 故选b 8 2017北京 14 3分 如图 ab为 o的直径 c d为 o上的点 若 cab 40 则 cad 答案25 解析连接bc bd ab为 o的直径 acb 90 abc 90 cab 90 40 50 abd cbd abc 25 cad cbd 25 9 2017湖北十堰 14 3分 如图 abc内接于 o acb 90 acb的平分线交 o于d 若ac 6 bd 5 则bc的长为 答案8 解析连接ad acb 90 ab是 o的直径 acb的平分线交 o于d acd bcd 45 ad bd 5 ab是 o的直径 abd是等腰直角三角形 ab 10 思路分析连接ad 根据cd是 acb的平分线可知 acd bcd 45 故可得出ad bd 再由ab是 o的直径可知 abd是等腰直角三角形 利用勾股定理求出ab的长 在rt abc中 利用勾股定理可得出bc的长 ac 6 bc 8 故答案为8 解题关键本题考查的是圆周角定理 熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键 10 2017内蒙古包头 17 3分 如图 点a b c为 o上的三个点 boc 2 aob bac 40 则 acb 度 答案20 解析 bac 40 boc 80 boc 2 aob aob boc 40 acb aob 20 11 2017江苏南京 15 2分 如图 四边形abcd是菱形 o经过点a c d 与bc相交于点e 连接ac ae 若 d 78 则 eac 解析 四边形abcd是菱形 ad bc ca平分 dcb d 78 dcb 180 d 102 ace dcb 51 a e c d四点共圆 d aec 180 aec 102 在 aec中 eac 180 aec ace 180 102 51 27 答案27 解后反思本题综合考查菱形的性质 圆的内接四边形对角互补的性质 掌握这两个性质是解决问题的关键 12 2017贵州贵阳 13 4分 如图 正六边形abcdef内接于 o o的半径为6 则这个正六边形的边心距om的长为 答案3 解析连接ob oc 可得ob oc boc 60 所以 boc为等边三角形 所以 bom 30 所以om ob cos30 3 13 2015湖南娄底 17 3分 如图 在 o中 ab为直径 cd为弦 已知 acd 40 则 bad 度 答案50 解析由圆周角定理知 b acd 40 因为ab为 o的直径 所以 adb 90 根据直角三角形两锐角互余 求得 bad 90 40 50 故答案为50 14 2015湖南长沙 18 3分 如图 ab是 o的直径 点c是 o上的一点 若bc 6 ab 10 od bc于点d 则od的长为 解析 ab是 o的直径 acb 90 在rt abc中 ac 8 又 od bc do ac obd abc ac 8 od 4 答案4 思路分析由ab是 o的直径 根据直径所对的圆周角可得 c 90 由勾股定理可求得ac的长 易证得od是 abc的中位线 则可求得od的长 审题技巧在圆的求值证明中 常通过直径所对的圆周角构造直角三角形 利用勾股定理来解决问题 15 2014湖南湘西 6 3分 如图 ab是 o的直径 弦cd ab于点e oc 5cm cd 6cm 则oe cm 答案4 解析 cd ab cd 6cm ce cd 3cm 在rt oce中 oe 4cm 16 2016湖南益阳 13 5分 如图 四边形abcd内接于 o ab是直径 过c点的切线与ab的延长线交于p点 若 p 40 则 d的度数为 解析如图 连接oc 由题意可得 ocp 90 p 40 cob 50 oc ob ocb obc 65 四边形abcd是圆内接四边形 d abc 180 d 115 答案115 17 2014江西 12 3分 如图 abc内接于 o ao 2 bc 2 则 bac的度数为 答案60 解析连接ob oc 作od bc于点d 由垂径定理可得 bd cd od 1 sin obd obd 30 boc 120 则 bac boc 60 评析本题考查垂径定理和圆周角与圆心角之间的关系 属容易题 18 2014陕西 16 3分 如图 o的半径是2 直线l与 o相交于a b两点 m n是 o上的两个动点 且在直线l的异侧 若 amb 45 则四边形manb面积的最大值是 答案4 解析连接oa ob 四边形manb面积的最大值取决于三角形abm和三角形abn的面积的最大值 当点m n分别位于优弧ab和劣弧ab的中点时 四边形manb面积取最大值 连接mn 此时mn为 o的直径 故mn 4 amb 45 aob 90 所以ab oa 2 故四边形manb面积的最大值为ab mn 2 4 4 19 2016甘肃定西 16 4分 如图 在 o中 弦ac 2 点b是圆上一点 且 abc 45 则 o的半径r 答案 解析 abc 45 aoc 90 oa oc r ac 2 r2 r2 2 2 解得r 20 2016江苏南京 13 2分 如图 扇形aob的圆心角为122 c是上一点 则 acb 答案119 解析如图 在扇形aob所在圆优弧ab上取一点d 连接da db aob 122 d 61 acb d 180 acb 119 21 2018浙江杭州 14 4分 如图 ab是 o的直径 点c是半径oa的中点 过点c作de ab 交 o于d e两点 过点d作直径df 连接af 则 dfa 答案30 思路分析利用垂径定理和三角函数得出 cdo 30 进而得出 doa 60 利用圆周角定理得出 dfa 30 解析 点c是半径oa的中点 oc oa od 又 de ab cdo 30 doa 60 dfa doa 30 解题关键此题考查了垂径定理 三角函数以及圆周角定理 解题关键是利用垂径定理和三角函数得出 cdo 30 22 2018福建 24 12分 已知四边形abcd是 o的内接四边形 ac是 o的直径 de ab 垂足为e 1 延长de交 o于点f 延长dc fb交于点p 如图1 求证 pc pb 2 过点b作bg ad 垂足为g bg交de于点h 且点o和点a都在de的左侧 如图2 若ab dh 1 ohd 80 求 bde的大小 图1图2 解析 1 证明 ac是 o的直径 abc 90 又 de ab dea 90 dea abc bc df f pbc 四边形bcdf是圆内接四边形 f dcb 180 又 pcb dcb 180 f pcb pbc pcb pc pb 2 连接od ac是 o的直径 adc 90 又 bg ad agb 90 adc agb bg dc 又由 1 知bc de 四边形dhbc为平行四边形 bc dh 1 在rt abc中 ab tan acb acb 60 cab 30 从而bc ac od dh od 在等腰三角形doh中 doh ohd 80 odh 20 设de交ac于n bc de onh acb 60 noh 180 onh ohd 40 doc doh noh 40 cbd oad 20 bc de bde cbd 20 一题多解 1 证明 易证df bc 从而cd bf 且 1 pb pc 2 连接od 设 bde x 则 ebd 90 x 易证四边形bcdh为平行四边形 bc dh 1 ab cab 30 ac 2 adb acb 60 od oa 1 dh odh 180 2 ohd 180 2 80 20 oad oda adb odh x 60 20 x 40 x 又 aod 2 abd 180 2 40 x 2 90 x 解得x 20 即 bde 20 解后反思本题考查圆的有关性质 等腰三角形的判定与性质 平行线的判定与性质 平行四边形的判定与性质 解直角三角形等基础知识 考查运算能力 推理能力 空间观念与几何直观 考查化归与转化思想 23 2017浙江杭州 23 12分 如图 已知 abc内接于 o 点c在劣弧ab上 不与点a b重合 点d为弦bc的中点 de bc de与ac的延长线交于点e 射线ao与射线eb交于点f 与 o交于点g 设 gab acb eag eba 1 点点同学通过画图和测量得到以下数据 猜想 关于 的函数表达式 关于 的函数表达式 并给出证明 2 若 135 cd 3 abe的面积为 abc的面积的4倍 求 o的半径 解析 1 90 180 证明 连接cg 因为ag是直径 所以 acg 90 因为de垂直平分bc 所以eb ec 所以 ebc ecb bed ced 因为 bag bcg 所以 bcg acg bag acg 90 因为 ecg 90 cd de 所以 bcg ced 所以 bec 2 所以 eag eba bag eab eba bag 180 bec 180 2 180 2 因为 135 所以 45 135 所以 ecb ebc 45 所以 ecb为等腰直角三角形 又因为cd 3 所以bc 6 所以ce be 3 因为 abe的面积为 abc的面积的4倍 所以ae ac 4 1 所以ae 4 在rt abe中 ab 5 连接bg 因为ag是直径 所以 abg 90 在rt abg中 bag 45 所以bg ab 所以ag 10 所以 o的半径为5 24 2017湖南株洲 25 10分 如图 ab为 o的一条弦 点c为劣弧ab的中点 e为优弧ab上一点 点f在ae的延长线上 且be ef 线段ce交弦ab于点d 1 求证 ce bf 2 若bd 2 且ea eb ec 3 1 求 bcd的面积 注 根据圆的对称性可知oc ab 解析 1 证明 连接ac 作直线oc 记oc与ab交于点g 如图所示 be ef f ebf aeb ebf f f aeb c是劣弧ab的中点 aec bec aeb aec bec aec aeb aec f ce bf 2 dae dcb aed ceb ade cbe 即 cbd ceb bcd ecb cbe cdb 即 又bd 2 cb 2 ad 6 ab 8 点c为劣弧ab的中点 oc ab ag bg ab 4 cg 2 bcd的面积 bd cg 2 2 2 25 2016江苏苏州 26 10分 如图 ab是 o的直径 d e为 o上位于ab异侧的两点 连接bd并延长至点c 使得cd bd 连接ac交 o于点f 连接ae de df 1 证明 e c 2 若 e 55 求 bdf的度数 3 设de交ab于点g 若df 4 cosb e是的中点 求eg ed的值 解析 1 证明 连接ad ab是 o的直径 adb 90 即ad bc cd bd ad垂直平分bc ab ac b c 又 b e e c 2 四边形aedf是 o的内接四边形 e 180 afd 又 cfd 180 afd cfd e 55 又 e c 55 bdf c cfd 110 3 连接oe cfd e c fd cd bd 4 在rt abd中 cosb bd 4 ab 6 e是的中点 ab是 o的直径 aoe 90 ao oe 3 ae 3 e是的中点 ade bae 又 aeg dea aeg dea 即eg ed ae2 18 思路分析 1 直接利用圆周角定理得出ad bc 劲儿利用线段垂直平分线的性质得出ab ac 即可得出 e c 2 利用圆内接四边形的性质得出 afd 180 e 进而得出 bdf c cfd 即可得出答案 3 根据cosb 得出ab的长 再求出ae的长 进而得出 aeg dea 求出答案即可 26 2017宁夏 23 10分 将一副三角板rt abd与rt acb 其中 abd 90 d 60 acb 90 abc 45 如图摆放 rt abd中 d所对直角边与rt acb的斜边恰好重合 以ab为直径的圆经过点c 且与ad交于点e 分别连接eb ec 1 求证 ec平分 aeb 2 求的值 解析 1 证明 rt acb中 acb 90 abc 45 bac abc 45 aec abc bec bac aec bec 即ec平分 aeb 2 如图 设ab与ce交于点m ec平分 aeb 在rt abd中 abd 90 d 60 bad 30 以ab为直径的圆经过点e aeb 90 tan bae ae be 作af ce于f bg ce于g 在 afm与 bgm中 afm bgm 90 amf bmg afm bgm 思路分析 1 由rt acb中 abc 45 得出 bac abc 45 根据圆周角定理得出 aec abc bec bac 等量代换得出 aec bec 即ec平分 aeb 2 设ab与ce交于点m 根据角平分线的性质得出 易知 bad 30 由直径所对的圆周角是直角得出 aeb 90 解直角 abe得到ae be 那么 作af ce于f bg ce于g 证明 afm bgm 根据相似三角形对应边成比例得出 进而求出 解题关键本题考查了相似三角形的判定与性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 通过作辅助线得出 是解题的关键 27 2016内蒙古呼和浩特 24 9分 如图 已知ad是 abc的外角 eac的平分线 交bc的延长线于点d 延长da交 abc的外接圆于点f 连接fb fc 1 求证 fbc fcb 2 已知fa fd 12 若ab是 abc外接圆的直径 fa 2 求cd的长 解析 1 证明 四边形afbc内接于圆 fbc fac 180 又 cad fac 180 fbc cad 1分 ad是 abc的外角 eac的平分线 ead cad 又 ead fab fab cad 2分 又 fab fcb fbc fcb 3分 2 由 1 知 fbc fcb fcb fab fab fbc 4分 又 bfa bfd afb bfd 5分 于是有 fba fdb 即bf2 fa fd 12 bf 2 6分 而fa 2 fd 6 ad 4 ab为圆的直径 bfa bca 90 7分 tan fba fba 30 8分 又 fba fdb fdb 30 cd 2 9分 28 2015江苏南京 26 8分 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 bc的延长线与ad的延长线交于点e 且dc de 1 求证 a aeb 2 连接oe 交cd于点f oe cd 求证 abe是等边三角形 证明 1 四边形abcd是 o的内接四边形 a bcd 180 又 dce bcd 180 a dce dc de dce aeb a aeb 4分 2 a aeb abe是等腰三角形 oe cd cf df oe是cd的垂直平分线 ed ec 又 dc de dc de ec dce是等边三角形 aeb 60 abe是等边三角形 8分 29 2015贵州遵义 26 12分 如图 abc中 ab ac 以ab为直径作 o 交bc于点d 交ca的延长线于点e 连接ad de 1 求证 d是bc的中点 2 若de 3 bd ad 2 求 o的半径 3 在 2 的条件下 求弦ae的长 解析 1 证明 ab为 o的直径 ad bc 2分 又 ab ac d是bc的中点 4分 2 ab ac b c 又 b e c e dc de bd de 3 5分 又 bd ad 2 ad 1 6分 在rt abd中 bd 3 ad 1 ab 7分 则 o的半径为 8分 3 解法一 在 cab和 cde中 b e c c 公共角 cab cde 9分 10分 ca ab ce 11分 ae ce ac 12分 解法二 连接be ab是 o的直径 bec 90 9分 在 adc和 bec中 adc bec 90 c c adc bec 10分 ce 11分 ae ce ac 12分 此题第 3 问的解法较多 请参照给分 评析本题考查了圆的有关性质 等腰三角形的性质 勾股定理 相似三角形的性质与判定 属中档题 30 2014湖北武汉 22 8分 如图 ab是 o的直径 c p是上两点 ab 13 ac 5 1 如图 若点p是的中点 求pa的长 2 如图 若点p是的中点 求pa的长 图 图 解析 1 如图 连接pb bc ab是 o的直径 p是的中点 pa pb apb 90 ab 13 pa ab 2 如图 连接pb bc 连接op交bc于d点 p是的中点 op bc于d bd cd oa ob od ac op ab pd op od 4 ab是 o的直径 acb 90 ab 13 ac 5 bc 12 bd bc 6 pb 2 ab是 o的直径 apb 90 pa 3 31 2014辽宁沈阳 22 10分 如图 o是 abc的外接圆 ab为直径 od bc交 o于点d 交ac于点e 连接ad bd cd 1 求证 ad cd 2 若ab 10 cos abc 求tan dbc的值 解析 1 证明 ab为 o的直径 acb 90 又 od bc aeo acb 90 od ac ad cd 2 ab 10 oa od ab 5 od bc aoe abc 在rt aeo中 oe oacos aoe oacos abc 5 3 de od oe 5 3 2 由勾股定理得 ae 4 在rt aed中 tan dae 又 dbc dae tan dbc 评析本题综合考查了圆的知识 解直角三角形 属中等难度题 32 2014天津 21 10分 已知 o的直径为10 点a 点b 点c在 o上 cab的平分线交 o于点d 1 如图 若bc为 o的直径 ab 6 求ac bd cd的长 2 如图 若 cab 60 求bd的长 解析 1 由bc为 o的直径 得 cab bdc 90 在rt cab中 bc 10 ab 6 ac 8 ad平分 cab cd bd 在rt bdc中 bc 10 cd2 bd2 bc2 bd2 cd2 50 bd cd 5 2 如图 连接ob od ad平分 cab 且 cab 60 dab cab 30 dob 2 dab 60 又 在 o中 ob od obd是等边三角形 o的直径为10 ob 5 bd 5 考点二与圆有关的位置关系 1 2018重庆 9 4分 如图 已知ab是 o的直径 点p在ba的延长线上 pd与 o相切于点d 过点b作pd的垂线交pd的延长线于点c 若 o的半径为4 bc 6 则pa的长为 a 4b 2c 3d 2 5 答案a连接do pd与 o相切于点d pdo 90 bc pc pcb 90 do bc pod pbc pa 4 故选a 思路分析利用切线的性质得出 pdo 90 再利用相似三角形的判定和性质求出结果 2 2014湖南邵阳 8 3分 如图 abc的边ac与 o相交于c d两点 且经过圆心o 边ab与 o相切 切点为b 已知 a 30 则 c的大小是 a 30 b 45 c 60 d 40 答案a如图 连接ob ab与 o相切 ob ab abo 90 a 30 aob 60 c aob 30 故选a 3 2017浙江杭州 12 4分 如图 at切 o于点a ab是 o的直径 若 abt 40 则 atb 答案50 解析 at与 o相切 ab是 o的直径 at ab 即 bat 90 在rt abt中 abt 40 atb 90 40 50 思路分析切