【与名师对话】高考数学 质量检测5 立体几何文（含解析）北师大版(1).doc

质量检测(五)测试内容：立体几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2012年大连期末)一几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h()a. b.c2 d5解析：分析几何体的三视图，可知该几何体是底面为矩形的四棱锥，体积v56h10，解得h.答案：b2设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()am且l1 bml1且nl2cm且n dm且nl2解析：l1，.答案：b3(2012年郑州质检)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位：cm3)()a. b.c. d解析：依三视图可知，该几何体是半个圆锥，且底面半径为1，高为3，故v，选a.答案：a4(2012年杭州质检)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：由几何体的直观图可知，侧视图为一矩形(内有从左下到右上的对角线，因为该对角线看不到轮廓线，故用虚线)故选d.答案：d5(2012年广州高三调研)在正四棱锥vabcd中，底面正方形abcd的边长为1，侧棱长为2，则异面直线va与bd所成角的大小为()a. b. c. d.解析：取bd的中点o，则vobd，acbd，所以bd平面vac，则异面直线va与bd所成角的大小为.答案：d6给定下列四个命题：(1)若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；(2)若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；(3)垂直于同一直线的两条直线相互平行；(4)若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是()a(1)和(2) b(2)和(3) c(3)和(4) d(2)和(4)解析：对于(1)，两条直线必须相交，否则不能证明面面平行，错误；对于(3)，垂直于同一条直线的两条直线还可能异面，错误；(2)(4)正确所以选d.答案：d7如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是()a24 b12c8 d4解析：依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的几何体，因此其体积等于234(23)412，选b.答案：b8如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的侧面积和体积分别是()a826,8b286,8c4812,16d8412,16解析：几何体的侧面积有四部分，左侧面面积s1222，右侧面面积s2244，后侧面面积s36412，前侧面面积s4626，所以侧面积为s4812，体积为vsh26416，故选c.答案：c9如图所示，直线pa垂直于o所在的平面，abc内接于o，且ab为o的直径，点m为线段pb的中点现有结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长其中正确的是()a b c d解析：对于，pa平面abc，pabc，ab为o的直径，bcac，bc平面pac，又pc平面pac，bcpc；对于，点m为线段pb的中点，ompa，pa平面pac，om平面pac；对于，由知bc平面pac，线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故都正确答案：b10(2012年沈阳质检)如图，正方体ac1的棱长为1，过点a作平面a1bd的垂线，垂足为点h，则以下命题中，错误的命题是()a点h是a1bd的垂心bah的延长线经过点c1cah垂直平面cb1d1d直线ah和bb1所成角为45解析：计算得ah，直线ah和bb1所成角为arccos，故d项错误，选项a，b，c是正确的答案：d11(2012年唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为()a10 cm b10 cm c10 cm d30 cm解析：该骨架为一个棱长为20 cm的正四棱锥，设为gabcd，与各棱均相切的球的球心记为o，则o在棱锥的高gt上，如图示，设球半径为r，与棱gb，cd分别交于点h，m，设oth，由正四棱锥性质可知，|tm|bc|10，|bt|bd|10，|gt|10，在otm中，有r2h2102，由ghogtb可得，即，联立可得r10或r30(舍)，故选b.答案：b12在正方形abcd中，ab4，沿对角线ac将正方形abcd折成一个直二面角bacd，则点b到直线cd的距离为()a2 b3 c2 d22解析：如图，取ac中点e，连接de，be，易知deb是二面角adcb的平面角，由于两平面垂直，故deb，即平面be平面adc，过点e作efdc于f，连接bf，则dc平面bef，所以bfdc，故线段bf即为点b到dc的距离，由于efad2，be2，故bf2.答案：c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为_解析：如图，在正三棱锥pabc中，由于pa，ao，在直角三角形pao中可得po2，故vpabc222.答案：14如图，已知abc和bcd所在平面互相垂直，abcbcd90，aba，bcb，cdc，且a2b2c21，则三棱锥abcd的外接球的表面积为_解析：如图所示，可将该三棱锥补体为一个长方体，该长方体的体对角线长即为ad，由aba，bcb，cdc，且a2b2c21，可得该三棱锥外接球即为长方体的外接球的直径为1，其外接球的表面积为s42.答案：15如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的面积为2的等腰直角三角形，那么该几何体的表面积等于_解析：由题可得几何体如图所示，其中appc，pccb，并且appccb2，pbac2，pbc，pac的面积都是2；cb面pac，所以cbac，又ap面pbc，所以appb，进而可求得pab，abc的面积都是2，所以该几何体的表面积等于44.答案：4416在三棱锥pabc中，三条侧棱pa，pb，pc两两互相垂直，且papbpc，m为ab的中点，则pm与平面abc所成角的正弦值为_解析：如图，将三棱锥补为正方体，由于三棱锥pabc为正三棱锥，故点p在底面abc的射影为其中心n，连接mn，则pmn即为直线pm与平面abc所成角，设papbpca，则pma，pna，故sinpmn.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，1822题，每题12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，四边形abcd是梯形，adbc，accd，e是aa1上的一点(1)求证：cd平面ace；(2)若平面cbe交dd1于点f，求证：efad.证明：(1)因为abcda1b1c1d1为直四棱柱，所以aa1平面abcd.因为cd平面abcd，所以aa1cd，即aecd.因为accd，ae平面aec，ac平面aec，aeaca，所以cd平面aec.(2)因为adbc，ad平面add1a1，bc平面add1a1，所以bc平面add1a1.因为bc平面bce，平面bce平面add1a1ef，所以efbc.因为adbc，所以efad.18如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为平行四边形，且ab1，bc2，abc，e，f分别为ad，bc的中点(1)求证：ef平面pcd；(2)求证：ac平面pab.证明：(1)如图，因为在平行四边形abcd中，e，f分别为ad，bc的中点，所以edfc，edfc，可得efcd为平行四边形，所以efcd.又因为ef平面pcd，cd平面pcd，所以ef平面pcd.(2)因为pa平面abcd，ac平面abcd，故paac.在abc中，ab1，bc2，abc，由余弦定理得ac.故ab2ac2bc2，所以abac.而paaba，且ab，pa平面pab，所以ac平面pab.19一个多面体的三视图和直观图分别如图(1)(2)所示，其中m、n分别为ab、ac的中点，g是df上的一动点(1)求证：gnac；(2)当fggd时，在棱ab上确定一点p，使得gp平面fmc，并给出证明证明：(1)如图，连接db，可知b，n，d共线，且acdn.又fdad，fdcd，adcdd，fd平面abcd.又ac平面abcd，fdac.又dnfdd，ac平面fdn.又gn平面fdn，gnac.(2)点p与点a重合时，gp平面fmc.证明：取fc中点h，连接gh，ga，mh.g是df的中点，gh綊cd.m是ab的中点，am綊cd.gh綊am，四边形ghma是平行四边形gamh.又mh平面fmc，ga平面fmc，ga平面fmc，即gp平面fmc.20(2013年西安质检)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，ab2，bad60.(1)求证：bd平面pac；(2)若papb，求pb与ac所成角的余弦值解：证明：(1)因为四边形abcd是菱形，所以acbd.又因为pa平面abcd，所以pabd，而paaca，所以bd平面pac.(2)设acbdo.因为bad60，papb2，所以bo1，aoco.如图，以o为坐标原点，ob为x轴正方向，oc为y轴正方向，与ap平行的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系oxyz，则点p(0，2)，a(0，0)，b(1,0,0)，c(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)设pb与ac所成角为，则cos.21(2012年长沙联考)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，点d是ab的中点(1)求证：acbc1；(2)求二面角dcb1b的平面角的正切值解：(1)证明：在直三棱柱abca1b1c1中，底面三边长ac3，bc4，ab5.因为ac2bc2ab2，所以acbc.又acc1c，且bcc1cc，所以ac平面bcc1.又bc1平面bcc1，所以acbc1.(2)解法一：取bc中点e，过点d作dfb1c于点f，连接ef，ed.因为d是ab中点，所以deac，又ac平面bb1c1c，所以de平面bb1c1c.又因为bc1平面bb1c1c，所以b1cde.而dfb1c且dedfd，所以b1c平面def，ef平面def，所以b1cef，所以efd是二面角dcb1b的平面角因为ac3，bc4，aa14，所以在def中，deef，de，ef，所以tanefd.所以二面角dcb1b的正切值为.解法二：以ca，cb，cc1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系因为ac3，bc4，aa14，所以点a(3,0,0)，b(0,4,0)，c(0,0,0)，d，b1(0,4,4)，所以，(0,4,4)平面cbb1c1的法向量n1(1,0,0)，设平面db1c的法向量n2(x0，y0，z0)，则n1，n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角dcb1b的大小则由即令x04，则y03，z03，所以n2(4，3,3)cosn1，n2，则tann1，n2.因为二面角dcb1b是锐二面角，所以二面角dcb1b的正切值为.22将两块全等的三角板的一对直角边拼接在一起，使得一块三角板的直角边与另一块三角板所在平面垂直，如图，abbccd2，abcbcd90，e，f，g分别为ab，bc，ac的中点，p为bd上的点(1)当点p为bd的中点时，求证：bgpf；(2)线段bd上是否存在点p，使得二面角befp的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：如图，以b为坐标原点，以bc，ba所在直线为y轴，z轴，以过b作dc的平行线为x轴，建立空间直角坐标系，则b(0,0,0)，e(0,0,1)，f(0,1,0)