中考数学复习 第三章 函数 第七节 二次函数的综合应用课件.ppt

第七节二次函数的综合应用 考点一线段 周长问题例1 2017 东营中考 如图 直线y x 分别与x轴 y轴交于b c两点 点a在x轴上 acb 90 抛物线y ax2 bx 经过a b两点 1 求a b两点的坐标 2 求抛物线的解析式 3 点m是直线bc上方抛物线上的一点 过点m作mh bc于点h 作md y轴交bc于点d 求 dmh周长的最大值 分析 1 由直线解析式可求得b c坐标 再利用相似三角形可求得oa 从而可求出a点坐标 2 利用待定系数法可求得抛物线解析式 3 根据题意可推出当md取得最大值时 dmh的周长最大 利用二次函数的性质得出最大值 自主解答 1 直线y x 分别与x轴 y轴交于b c两点 点b的坐标为 3 0 点c的坐标为 0 aco bco 90 aco cao 90 cao bco aoc cob 90 aoc cob 点a的坐标为 1 0 2 抛物线y ax2 bx 经过a b两点 抛物线的解析式为y 3 由题意知 dmh为直角三角形 且 m 30 当md取得最大值时 dmh的周长最大 dmh周长的最大值为 1 2017 东营冲刺卷 如图所示 二次函数的图象经过点d 0 且顶点c的横坐标为4 该图象在x轴上截得线段ab长为6 1 利用二次函数的对称性直接写出点a b的坐标 2 求二次函数的解析式 3 在该抛物线的对称轴上找一点p 使pa pd最小 求出点p的坐标 4 在抛物线上是否存在点q 使 qab与 abc相似 如果存在 求出点q的坐标 如果不存在 请说明理由 1 解 1 a 1 0 b 7 0 2 设二次函数的解析式为y a x 1 x 7 过点 0 代入得7a 解得a 二次函数的解析式为y x 1 x 7 3 点a b关于直线x 4对称 pa pb pa pd pb pd db db与对称轴的交点即为所求点p 如图 设直线x 4与x轴交于点m pm od bpm bdo 又 pbm dbo bpm bdo 4 存在 由 2 可得出点c的坐标为 4 am 3 在rt amc中 tan acm acm 60 ac bc acb 120 如图所示 当点q在x轴上方时 过点q作qn x轴于点n 如果ab bq 由 acb abq得bq 6 abq acb 120 则 qbn 60 qn 3 bn 3 on 10 此时点q的坐标为 10 3 如果ab aq 由对称性知q的坐标为 2 3 经检验 点 10 3 与 2 3 都在抛物线上 当点q在x轴下方时 qab就是 acb 此时点q的坐标是 4 综上所述 存在这样的点q 使 qab与 abc相似 点q的坐标为 10 3 或 2 3 或 4 考点二图形面积问题例2 2016 东营中考 在平面直角坐标系中 平行四边形aboc如图放置 点a c的坐标分别是 0 4 1 0 将此平行四边形绕点o顺时针旋转90 得到平行四边形a b oc 1 若抛物线过点c a a 求此抛物线的解析式 2 点m是第一象限内抛物线上的一动点 问 当点m在何处时 ama 的面积最大 最大面积是多少 并求出此时m的坐标 3 若p为抛物线上一动点 n为x轴上的一动点 点q坐标为 1 0 当p n b q构成平行四边形时 求点p的坐标 当这个平行四边形为矩形时 求点n的坐标 分析 1 由平行四边形aboc绕点o顺时针旋转90 得到平行四边形a b oc 且点a的坐标是 0 4 可求得点a 的坐标 然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式 2 连接aa 设直线aa 的解析式为y kx b 利用待定系数法即可求得直线aa 的解析式 再设点m的坐标为 x x2 3x 4 继而可得 ama 的面积 求得答案 3 分别从bq为边与bq为对角线去分析求解即可求得答案 自主解答 1 平行四边形aboc绕点o顺时针旋转90 得到平行四边形a b oc 且点a的坐标是 0 4 点a 的坐标为 4 0 点a c的坐标分别是 0 4 1 0 抛物线过点c a a 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 此抛物线的解析式为y x2 3x 4 2 如图 连接aa 设直线aa 的解析式为y kx b 直线aa 的解析式为y x 4 设点m的坐标为 x x2 3x 4 则s ama 4 x2 3x 4 x 4 2x2 8x 2 x 2 2 8 当x 2时 ama 的面积最大 最大值s ama 8 m的坐标为 2 6 3 设点p的坐标为 x x2 3x 4 当p n b q构成平行四边形时 平行四边形aboc中 点a c的坐标分别是 0 4 1 0 点b的坐标为 1 4 点q坐标为 1 0 p为抛物线上一动点 n为x轴上的一动点 当bq为边时 pn bq pn bq bq 4 x2 3x 4 4 当 x2 3x 4 4时 解得x1 0 x2 3 p1 0 4 p2 3 4 当 x2 3x 4 4时 当bq为对角线时 bp qn bp qn 此时p与p1 p2重合 综上可得 点p的坐标为p1 0 4 p2 3 4 p3 4 p4 4 当这个平行四边形为矩形时 点n的坐标为 0 0 或 3 0 2 2018 遂宁中考 如图 已知抛物线y ax2 x 4的对称轴是直线x 3 且与x轴相交于a b两点 b点在a点右侧 与y轴交于c点 1 求抛物线的解析式和a b两点的坐标 2 若点p是抛物线上b c两点之间的一个动点 不与b c重合 则是否存在一点p 使 pbc的面积最大 若存在 请求出 pbc的最大面积 若不存在 试说明理由 3 若m是抛物线上任意一点 过点m作y轴的平行线 交直线bc于点n 当mn 3时 求m点的坐标 解 1 抛物线y ax2 x 4的对称轴是直线x 3 3 解得a 抛物线的解析式为y x2 x 4 当y 0时 x2 x 4 0 解得x1 2 x2 8 点a的坐标为 2 0 点b的坐标为 8 0 2 当x 0时 y x2 x 4 4 点c的坐标为 0 4 设直线bc的解析式为y kx b k 0 将b 8 0 c 0 4 代入y kx b得 直线bc的解析式为y x 4 假设存在 设点p的坐标为 x x2 x 4 如图 过点p作pd y轴 交直线bc于点d 则点d的坐标为 x x 4 pd x2 x 4 x 4 x2 2x s pbc pd ob 8 x2 2x x2 8x x 4 2 16 1 0 当x 4时 pbc的面积最大 最大面积是16 0 x 8 存在点p 使 pbc的面积最大 最大面积是16 3 设点m的坐标为 m m2 m 4 则点n的坐标为 m m 4 mn m2 m 4 m 4 m2 2m 又 mn 3 m2 2m 3 当0 m 8时 有 m2 2m 3 0 解得m1 2 m2 6 点m的坐标为 2 6 或 6 4 当m 0或m 8时 有 m2 2m 3 0 解得m3 4 2 m4 4 2 点m的坐标为 4 2 1 或 4 2 1 综上所述 m点的坐标为 4 2 1 2 6 6 4 或 4 2 1 考点三动点 存在点问题例3 2018 东营中考 如图 抛物线y a x 1 x 3 a 0 与x轴交于a b两点 抛物线上另有一点c在x轴下方 且使 oca obc 1 求线段oc的长度 2 设直线bc与y轴交于点m 点c是bm的中点时 求直线bm和抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 直线bc下方抛物线上是否存在一点p 使得四边形abpc面积最大 若存在 请求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 令y 0 求出x的值 确定出oa与ob的长度 根据已知相似三角形的比例 求出oc的长即可 2 根据c为bm的中点 求出od的长度 利用待定系数法确定出直线bm的解析式 把点c坐标代入抛物线求出a的值 即可确定出二次函数解析式 3 四边形abpc面积最大即 bpc面积最大 向下平移bm与抛物线有唯一公共点时 bcd面积最大 构造一元二次方程 求得 0时m的值 进而求得p点坐标 自主解答 1 令a x 1 x 3 0 可得x1 1 x2 3 oa 1 ob 3 oca obc oc2 oa ob 1 3 3 oc 2 如图 过点c作cd x轴 垂足为点d 则cd om 点c是bm的中点 od ob 设直线bm的解析式为y kx b 将b c两点的坐标代入得 3 存在 如图 s四边形abpc s abc s bpc s abc是常量 s bpc的面积随点p的位置变化而变化 向下平移直线bm 当平移后的直线b m 和抛物线 000 3 2018 泰安中考 如图 在平面直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c交x轴于点a 4 0 b 2 0 交y轴于点c 0 6 在y轴上有一点e 0 2 连接ae 1 求二次函数的解析式 2 若点d为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点 求 ade面积的最大值 3 抛物线对称轴上是否存在点p 使 aep为等腰三角形 若存在 请直接写出所有p点的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 由题意可得 二次函数的解析式为y x2 x 6 2 由a 4 0 e 0 2 可求得ae所在直线解析式为y x 2 如图 过点d作dh与y轴平行 交ae于点f 交x轴于点g 过点e作eh df 垂足为h 设d点坐标为 x0 x02 x0 6 则f点坐标为 x0 x0 2 则df x02 x0 6 x0 2 x02 x0 8 又 s ade s adf s edf s ade df ag df eh 4df 2 x02 x0 8 x0 2 当x0 时 ade的面积取得最大值 3 p点的坐标为 1 1 1 1 2 考点四二次函数综合题百变例题 2018 济宁中考 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 经过点a 3 0 b 1 0 c 0 3 1 求该抛物线的解析式 2 若以点a为圆心的圆与直线bc相切于点m 求切点m的坐标 3 若点q在x轴上 点p在抛物线上 是否存在以点b c q p为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点p的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 已知a b两点坐标 可得y a x 3 x 1 再将点c坐标代入即可解得 2 过点a作am bc 利用全等三角形求出点n的坐标 再利用待定系数法求出直线am的解析式 同理可求出直线bc的解析式 联立求出m坐标即可 3 存在以点b c q p为顶点的四边形是平行四边形 分两种情况 利用平移规律确定出p的坐标即可 自主解答 1 抛物线y ax2 bx c a 0 经过点a 3 0 b 1 0 y a x 3 x 1 又 抛物线经过点c 0 3 3 a 0 3 0 1 解得a 1 抛物线的解析式为y x 3 x 1 即y x2 2x 3 2 如图 过点a作am bc 垂足为点m am交y轴于点n bam abm 90 在rt bco中 bco abm 90 bam bco a 3 0 b 1 0 c 0 3 ao co 3 ob 1 又 bam bco boc aon 90 aon cob on ob 1 n 0 1 设直线am的函数解析式为y kx b 把a 3 0 n 0 1 代入得 解得 直线am的函数解析式为y x 1 同理可求直线bc的函数解析式为y 3x 3 解方程组得 切点m的坐标为 3 存在以点b c q p为顶点的四边形是平行四边形 设q t 0 p m m2 2m 3 分两种情况考虑 当四边形bcqp为平行四边形时 由b 1 0 c 0 3 根据平移规律得 1 m 0 t 0 m2 2m 3 3 0 解得m 1 当m 1 时 m2 2m 3 8 2 2 2 3 3 即p 1 3 当m 1 时 m2 2m 3 8 2 2 2 3 3 即p 1 3 当四边形bcpq为平行四边形时 由b 1 0 c 0 3 根据平移规律得 1 t 0 m 0 0 3 m2 2m 3 解得m 0或2 当m 0时 p 0 3 舍去 当m 2时 p 2 3 综上所述 存在以点b c q p为顶点的四边形是平行四边形 点p的坐标为 1 3 或 1 3 或 2 3 变式1 若点d是抛物线的顶点 求 acd面积与 abc面积的比 解 如图 连接ac ad cd 作dl x轴于点l s acd s梯形ocdl s adl s aoc 3 4 1 2 4 3 3 3 s abc ab oc 4 3 6 s acd s abc 3 6 1 2 变式2 若e是x轴上一个动点 过e作射线ef bc交抛物线于点f 随着e点的运动 在抛物线上是否存在这样的点f 使以b e f c为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点f的坐标 若不存在 请说明理由 解 存在 理由如下 如图 当点f在x轴下方时 作fr x轴于点r 四边形bcfe为平行四边形 efbc erf boc rf oc 3 3 x2 2x 3 解得x 2或x 0 与c点重合 舍去 f 2 3 如图 当f在x轴上方时 作fs x轴于点s 四边形bcef为平行四边形 efbc efs bco fs oc 3 3 x2 2x 3 解得x1 1 x2 1 综上所述 f点为 2 3 或 1 3 或 1 3 变式3 如图