【与名师对话】高考数学课时作业42 文（含解析）北师大版(1).doc

课时作业(四十二)一、选择题1已知向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则下列结论正确的是()aac，bc bab，accac，ab d以上都不对解析：c(4，6,2)2(2，3,1)，ac.又ab22(3)0140，ab.答案：c2(2012年厦门模拟)在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则sin，的值为()a. b. c. d.解析：设正方体棱长为2，以d为坐标原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：b3已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()a30 b60 c120 d150解析：由于cosm，n，m，n120，所以直线l与所成的角为30.答案：a4已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()a45 b135 c45或135 d90解析：cosm，n，即m，n45.两平面所成二面角为45或18045135.答案：c5如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线no、am的位置关系是()a平行 b相交c异面垂直 d异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，n(2,1,2)，(1,0，2)，(2,0,1)，0，则直线no、am的位置关系是异面垂直答案：c6如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是()a45 b60c90 d120解析：以b点为坐标原点，以bc、ba、bb1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设abbcaa12，则b(0,0,0)，c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)cos，.ef与bc1所成角为60.答案：b二、填空题7(2012年宁波模拟)若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或8正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：309正方体abcda1b1c1d1中，二面角abd1b1的大小为_解析：建系如图设a(1,0,0)，d1(0,0,1)，b(1,1,0)，b1(1,1,1)c(0,1,0)则(1,1,0)为平面bb1d1的一个法向量设n(x，y，z)为平面abd1的一个法向量则n0，n0.又(1,0,1)，(0,1,0)，令x1，则z1，cos，n，n120，即二面角abd1b1的大小为120.答案：120三、解答题10(2013年长春调研测试)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1a1cac2，abbc，abbc，o为ac中点(1)证明：a1o平面abc；(2)求直线a1c与平面a1ab所成角的正弦值；(3)在bc1上是否存在一点e，使得oe平面a1ab？若存在，确定点e的位置；若不存在，说明理由解：(1)aa1a1cac2，且o为ac中点，a1oac，又侧面aa1c1c底面abc，交线为ac，a1o面a1ac，a1o平面abc.(2)如图，以o为原点，分别以ob、oc、oa1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知b(1,0,0)，c(0,1,0)，a1(0,0，)，a(0，1,0)(0,1，)，令平面a1ab的法向量为n(x，y，z)，则nn0，而(0,1，)，(1,1,0)，可求得一个法向量n(3，3，)，所以|cos，n|，故直线a1c与平面a1ab所成角的正弦值为.(3)存在点e为线段bc1的中点证明：连接b1c交bc1于点m，连接ab1、om，则m为bc1的中点，从而om是cab1的一条中位线，omab1，而ab1平面a1ab，om平面a1ab，所以om平面a1ab，故bc1的中点m即为所求的e点11(2012年郑州模拟)如图，已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abcbdc90，abbc2cd2，pbpc，侧面pbc底面abcd，o是bc的中点(1)求证：po平面abcd；(2)求证：pabd；(3)若二面角dpao的余弦值为，求pb的长解：(1)证明：pbpc，o是bc的中点，pobc.侧面pbc底面abcd，bc是这两个平面的交线，po平面pbc，po平面abcd.(2)证明：据题意，可以以o为原点建立如图所示的空间直角坐标系，其中bay轴，则各相关点的坐标为：b(1,0,0)、a(1,2,0)、d(1,1,0)(2,1,0)，(1,2,0)，220，bdoa.由(1)知，po平面abcd，pobd.pooao，bd平面poa，bdpa.(3)设p(0,0，p)，平面pad的一个法向量为n(x，y,1)则(1,2，p)，故(2,1,0)，解得n.由(2)知，(2,1,0)是平面poa的一个法向量据题意，|cosn，|，整理得p23.(1,0，p)，pb|2.12(2012年福建)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长解：(1)证明：以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n.要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1.是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos二面角ab1ea1的大小为30，|cos|cos30，即，解得a2，即ab的长为2.热点预测13在如图所示的正方体a1b1c1d1abcd中，e是c1d1的中点，则异面直线de与ac夹角的余弦值为()a bc. d.解析：如图建立直角坐标系dxyz，设da1，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e，则(1,1,0)，若异面直线de与ac所成的角为，cos|cos，|.答案：d14在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，侧棱pa底面abcd，bcad，abc90，paabbc2，ad1，则点d到平面pbc的距离是_解析：分别以ab，ad，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)设n(x，y，z)为平面pbc的法向量，则即取x1，则n(1,0,1)又(2,1,0)，点d到平面pbc的距离为.答案：15在四棱锥pabcd中，侧面pcd底面abcd，pdcd，e为pc的中点，底面abcd是直角梯形，abcd，adc90，abadpd1，cd2.(1)求证：be平面apd；(2)求证：bc平面pbd；(3)设q为侧棱pc上一点，试确定的值，使得二面角qbdp为45.解：(1)证明：取pd的中点f，连接ef，af，e为pc的中点，efcd，且efcd1.在梯形abcd中，abcd，ab1，efab，efab.四边形abef为平行四边形，beaf.be平面pad，af平面pad，be平面pad.(2)证明：平面pcd平面abcd，pdcd，pd平面abcd.pdad.在直角梯形abcd中，bdbc，dc2，cbd90，即dbbc.又由p