广西大学数学建模考试试题A及参考答案.doc

广西大学数学建模考试试题A及参考答案 一概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。2、数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。3、试写出神经元的数学模型。答：神经元的数学模型是其中x（x1，xm）T输入向量，y为输出，wi是权系数；输入与输出具有如下关系：为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分)（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间 （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，的连线PQ为雇员与雇主的协议线通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 图二记H为脚A,C与地面距离之和，G为脚B,D与地面距离之和，为AC连线与X轴的夹角，不妨设H(0)0 , G(0)=0,(为什么?) 令f() = H() - G()则f是的连续函数,且f(0)=H(0)0，将方凳旋转90,则由对称性知H(/2)=0, G(/2)=H(0)从而f(/2)= -H(0) 0,所以这是正则链（2分）记为稳态概率，则有（2分） 四、建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈，则以后就不会再患病。将人群分为未感染者S、患者I、已治愈者（包括死亡者R）三种人，试作出必要的假设并写出该传染病的扩散微分方程模型（不必求解）。(10分) 答：假设：(1)设一个病人在单位时间内能传染的病人数i(t)与当时的未感染人数s(t)成正比，比例系数为（称为感染率）；(2)设在t时刻，已治愈人数（包括死亡人数）为r(t)；(3)设在单位时间内病人的治愈率为,即；（4分）(4)病人痊愈后不会再被传染。则有：（6分） 2、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工12小时后可生产A产品3公斤，A产品可获利24元/公斤，或一桶牛奶加工8小时可生产B产品4公斤，B产品可获利16元/公斤。现每天可供加工的牛奶为50桶，加工工时至多为480小时，且A产品至多只能生产100公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相