【优化指导】高考数学总复习 第8章 第7节 立体几何中的向量方法课时跟踪检测 理（含解析）新人教版(1).doc

【优化指导】2015高考数学总复习 第8章 第7节 立体几何中的向量方法课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是()a.b.c.d.解析：选dcosa，b且a，b(0，)，a，b. 2在正方形abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱aa1和bb1的中点，则 sin，的值为()a.b.c.d.解析：选b设正方体的棱长为2，以d为坐标原点，da所在直线为x轴，dc所在直线为y轴，dd1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.故选b. 3(2014汕头调研)如图，在四面体abcd中，ab1，ad2，bc3，cd2，abcdcb，则二面角abcd的大小为()a.b.c.d.解析：选b依题意可知，二面角abcd的大小等于与所成角的大小，2|cos，即1214922 cos，cos，与所成的角为，所以二面角abcd的大小为.故选b. 4如图所示，已知正方体abcda1b1c1d1，e、f分别是正方形a1b1c1d1和add1a1的中心，则ef和cd所成的角是()a60b45c30d90解析：选b以d为原点，分别以射线da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，e，f，(0,1,0)，cos，135，异面直线ef和cd所成的角是45.故选b. 5(2014西安模拟)已知三棱锥sabc中，底面abc是边长为2的等边三角形，sa底面abc，sa3，那么直线ab与平面sbc所成的角的正弦值为()a.b.c.d.解析：选d建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则b(2,0,0)，a(0,0,0)，s(0,0,3)，c(1，0)设平面sbc的法向量为n(x，y，z)，由得，令x3，则n(3，2)又(2,0,0)设直线ab与平面sbc所成角为，则 sin |cos，n|.故选d. 6(2014金华十校联考)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a.b.c2d.解析：选a如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0，0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0，0,2)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)设平面b1cd的法向量为m(x，y，z)由，得，令z1，则m(a,1，1)又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由 cos 60，得，解得a，所以ad.故选a. 7设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，d1(0,0,2)，a1(2,0,2)设平面a1bd的一个法向量为n(x，y，z)则由得，令x1，则n(1，1，1)又(0,0,2)所以点d1到平面a1bd的距离d. 8(2014福州质检)在三棱柱abca1b1c1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱aa1底面abc，点d在棱bb1上，且bd1，若ad与平面aa1c1c的夹角为，则 sin 的值为_解析：如图，建立空间直角坐标系，易知点d，平面aa1c1c的一个法向量是n(1,0,0)，所以cosn，所以sin . 9(2014昆明模拟)已知点e、f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1、cc1上，且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值为_解析：如图，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得，a(1,0,0)，e，f，.设平面aef的法向量为n(x，y，z)，平面aef与平面abc所成的二面角为，由，得.令y1，则n(1,1，3)又平面abc的一个法向量为m(0,0，1)，则 cos |cosn，m|，所以tan . 10(2013湖南高考)如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)求证：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值(1)证明：易知，ab，ad，aa1两两垂直如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设abt，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为acbd，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即acb1d.(2)解：由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，由得，令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成角为，则sin |cosn，|.所以直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为. 11(2014东营模拟)如图，四边形abcd中，abad，adbc，ad6，bc4，ab2，点e，f分别在bc，ad上，且e为bc的中点，efab.现将四边形abef沿ef折起，使二面角aefd等于60.(1)设p为ad的中点，求证：cp平面abef；(2)求直线af与平面acd所成角的正弦值(1)证明：取af的中点q，连qe，qp，则qp綊df.又df4，ec2，且dfec，所以pq綊ec，所以四边形pqec为平行四边形，所以cpqe.又qe平面abef，cp平面abef，所以cp平面abef.(2)解：由题知折叠后仍有efaf，effd，则ef平面afd.afd为二面角aefd的平面角，所以afd60.过a作aofd于o，又aoef，ao平面cdfe.作ogef交ec于g，则ogfd，aoog，分别以og，od，oa所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系oxyz，在rtaof中，af2，afo60，则fo1，oa，f(0，1,0)，a (0,0，)，d(0,3,0)，c(2,1,0)，(0，1，)，(0,3，)，(2,2,0)，设平面acd的一个法向量为n(x，y，z)，由得，令z，则n(1,1，)设直线af与平面acd所成的角为，则sin |cosn，|，即直线af与平面acd所成角的正弦值为.12(2013北京高考)如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5，(1)求证：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值；(3)求证：在线段bc1上存在点d，使得ada1b，并求的值(1)证明：因为aa1c1c为正方形，所以aa1ac.因为平面abc平面aa1c1c，且aa1ac，所以aa1平面abc.(2)解：由(1)知aa1ac，aa1ab.由题知ab3，bc5，ac4，所以abac.如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，则得，令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得平面b1bc1的法向量为m(3,4,0)所以 cosn，m.由图形知二面角a1bc1b1为锐角，所以二面角a1bc1b1的余弦值为.(3)证明：设d(x，y，z)是直线bc1上一点，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因为0,1，所以在线段bc1上存在点d，使得ada1b，此时，. 1(2014唐山调研)如图，矩形abcd中，ab3，bc4，沿对角线bd将abd折起，使a点在平面bcd内的射影o落在bc边上，若二面角cabd的大小为，则 sin ()a.b.c.d.解析：选a由可求得bo，oc，ao，建立空间直角坐标系，如图，则c，b，a，d，故(4,3,0)，.设m(x，y，z)是平面abd的法向量，则，令z3，则m.又(0,3,0)是平面abc的一个法向量，cosm，.sin .故选a. 2如图，三棱锥abcd中，e是bc的中点，db4，dc2，bddc，abad2，ae平面bcd，二面角abdc的大小为60.则直线ac与平面abd所成角的正弦值为_解析：取bd的中点m，连接me，建立如图所示的空间直角坐标系mxyz，则a(0,1，)，b(2,0,0)，d(2,0,0)，c(2，2,0)，故(2，1，)，(2，1，)，(2,1，)设平面abd的法向量为n(x，y，z)，则，令 z1，得n(0，1)，设直线ac与平面abd所成的角为，则 sin ，所以直线ac与平面abd所成角的正弦值为. 3(2014东北三校联考)如图，三棱柱abca1b1c1的侧棱aa1底面abc，acb90，e是棱cc1上的动点，f是ab的中点，ac1，bc2，aa14.(1)当e是棱cc1的中点时，求证：cf平面aeb1；(2)在棱cc1上是否存在点e，使得二面角aeb1b的余弦值是？若存在，求ce的长，若不存在，请说明理由解：(1)取ab1的中点g，连eg、fg.f，g分别是棱ab，ab1的中点，fgbb1，fgbb1，又ecbb1，eccc1bb1，fgec，fgec，四边形fgec是平行四边形，cfeg.cf平面aeb1，eg平面aeb1，cf平面aeb1.(2)以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,4)设e(0,0，m)(0m4)，平面aeb1的法向量n1(x，y，z)(1,2,4)，(1,0，m)由n1，n1，得解得.令z2，则n1(2m，m4,2)ca平面c1cbb1，是平面ebb1的一个法向量，令n2(1,0,0)，二面角aeb1b的余弦值为，cosn1，n2，解得m1满足0m4.在棱cc1上存在点e，符合题意，此时ce1.4(2014衡水一中模拟)如图，在三棱锥pabc中，papbpcac4，abbc2.(1)求证：平面abc平面apc；(2)求直线pa与平面pbc所成角的正弦值；(3)若动点m在底面三角形abc上，二面角mpac的余弦值为，求b点到am的最小值(1)证明：取ac中点o，因为apcp，所以opoc.由已知易得三角形abc为直角三角形，oaoboc，poapobpoc，opob，op平面abc，又op平面pac，平面abc平面apc.(2)解：以o为坐标原点，ob、oc、op分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系由已知得o(0,0,0)，b(2,0,0)，a(0，2,0)，c(0,2