【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）4.5.1 向量的数量积精品导学案 湘教版必修2.doc

4.5.1向量的数量积学习目标重点难点1能记住向量数量积的定义；2能说出向量数量积的运算律；3能进行向量数量积的运算，会求两个向量的数量积及夹角.重点：向量数量积的定义及运算；难点：向量数量积的运算；疑点：向量数量积与实数乘法以及向量与实数相乘的区别.1向量的数量积(1)定义：设a，b是任意两个向量，a，b是它们的夹角，取值范围是0，则定义ab|a|b|cosa，b称为a与b的数量积(2)两个向量的数量积是实数而不是向量(3)数量积ab也称为a与b的内积(4)数量积ab一定要在a与b之间用一点“”表示，因此也称为“点积”或“点乘”，不能将ab写成ab或ab.(5)向量a，b的夹角规定为a，b之间所夹的最小非负角，用a，b表示，其取值范围规定为0，且有a，bb，a(6)如果a，b共线，则有ab(7)当a，b之中有一个为零时，它们的夹角a，b没有确定的值，但a，b仍有确定的值0，即ab0.预习交流1向量的数量积是一个实数，它的正负与什么有关？提示：由ab|a|b|cosa，b知，当ab0时，a，b；当ab0时，a，b；当ab0时，a，b，因此ab取值的正负由这两个向量的夹角所决定预习交流2由ab0一定能推出a或b是零向量吗？提示：不一定，当ab0时，可能有a0，b0，而a，b，此时ab.预习交流3在abc中，与的夹角是什么？与的夹角等于b吗？提示：，a，但，b，而是，b，一定要注意向量的方向2向量数量积的运算律数量积满足如下的运算律：(1)交换律：abba，对任意向量a，b成立；(2)与数乘的结合律：(a)b(ab)，对任意向量a，b和实数成立；(3)分配律(distributive law)：(aa)babab，对任意向量a，a，b成立预习交流4实数运算中满足消去律，即若a，b，c为实数，当b0时，由abbc可得ac；那么在数量积运算中，当a，b，c为向量，且b0时，由abbc能否可得ac?提示：对于向量的数量积，该推理不正确，即abbcac.由图很容易看出，虽然abbc，但ac.预习交流5向量的数量积运算是否满足结合律(ab)ca(bc)呢？提示：对于实数a，b，c有(ab)ca(bc)；但对向量a，b，c，(ab)ca(bc)未必成立，这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(ab)ca(bc)未必成立在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量的夹角问题在正方形abcd中，两对角线ac与bd相交于点o，求：(1)与的夹角；(2)与的夹角；(3)与的夹角；(4)与的夹角思路分析：按照向量夹角的定义，以及正方形的性质求解解：(1)，反向共线，故，；(2)，bac；(3)与垂直，故，；(4)，.在等边abc中，求(1)，；(2)，；(3)，解：(1)，；(2)，；(3)，.求两个向量的夹角时，一定要注意向量的方向，通常把两个向量平移到共同的起点，再求它们之间的夹角二、向量数量积的计算已知|a|4，|b|5，当(1)ab，(2)ab，(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积思路分析：已知|a|与|b|，求ab，只需确定其夹角.注意当ab时，有0和180两种可能解：(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90.ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.1已知ab6，|a|3，a和b的夹角为45，则|b|_.答案：4解析：由题意知63|b|cos 45，|b|4.2在边长为2的正方形abcd中，_.答案：4解析：依题意|2，|2，于是22cos4.求两个向量数量积的关键是求出两个向量的模以及它们之间的夹角，然后利用数量积的定义进行计算三、利用数量积求两个向量的夹角在等腰abc中，已知ab=ac=6，=18，求b的大小思路分析：先由数量积的定义求出a的大小，再求b解：因为=|cos，=66cos a=36cos a所以36cos a=18.所以cos a=.因此a=120，于是b=30.即b等于30.已知向量a，b满足|a|2，|b|2，且ab2，则a与b的夹角为()a b c d答案：b解析：设向量a与b的夹角为.ab|a|b|cos ，cos .求两个向量的夹角的关键是求出两个向量的模以及它们的数量积，利用数量积的定义式求出夹角的余弦，再求夹角，注意夹角的取值范围1在边长为1的正三角形abc中，()a b c d答案：c解析：11cos 60.2若|a|b|2，且ab2，则a与b的夹角为()a180 b90 c60 d0答案：c解析：设a与b的夹角为，则ab22cos 2，cos .又0，180，60.3对非零向量a，b，若ab|a|b|，则必有()aab b|a|b| cab dab答案：d解析：由ab|a|b|知a，b180，因此ab.4若|a|2，|b|3，a，b120，则a(4b)的值为()a12 b12 c12 d12答案：b解析：a(4b)4(ab)4|a|b|cosa，b423cos 12012.5在abc中，a，b，且ab0