高中数学 第三章 导数应用 3.2.2 最大值、最小值问题课件7 北师大版选修22.ppt

第三章 2导数在实际问题中的应用 2 2最大值 最小值问题 二 1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 问题导学 题型探究 学习目标 知识点生活中的数学建模 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 2 利用导数解决优化问题的实质是 3 解决优化问题的基本思路是 问题导学新知探究点点落实 上述解决优化问题的过程是一个典型的过程 答案 返回 优化问题 求函数最值 数学建模 类型一面积 容积的最值问题 例1请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为60cm的正方形硬纸片 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得abcd四个点重合于图中的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 设ae fb xcm 1 若广告商要求包装盒侧面积s cm2 最大 则x应取何值 题型探究重点难点个个击破 解析答案 当且仅当x 30 x 即x 15时 等号成立 所以若广告商要求包装盒侧面积s cm2 最大 则x 15 2 若广告商要求包装盒容积v cm3 最大 则x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 令v 0 得0 x 20 令v 0 得20 x 30 解析答案 反思与感悟 1 这类问题一般用面积公式 体积公式等作等量关系 求解时应选取合理的边长x作自变量 并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长 这样函数关系式就列出来了 2 这类问题中 函数的定义域一般是保证各边 或线段 为正 建立x的不等式 组 求定义域 反思与感悟 同步训练1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场 如图 圆形广场的圆心为o 半径为100m 并与北京路一边所在直线l相切于点m 点a为上半圆弧上一点 过点a作l的垂线 垂足为点b 市园林局计划在 abm内进行绿化 设 abm的面积为s 单位 m2 aon 单位 弧度 1 将s表示为 的函数 解析答案 解如图 bm aosin 100sin ab mo aocos 100 100cos 2 当绿化面积s最大时 试确定点a的位置 并求最大面积 解s 5000 2cos2 cos 1 5000 2cos 1 cos 1 解析答案 类型二利润最大问题 1 求年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 解析答案 2 当年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 并求出最大值 解析答案 反思与感悟 且当x 0 9 时 w 0 当x 9 10 时 w 0 综合 知 当x 9时 w取得最大值38 6 故当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 最大利润为38 6万元 反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 反思与感悟 所以a 2 解析答案 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解析答案 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解析答案 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 类型三费用 用材 最省问题 例3已知a b两地相距200km 一只船从a地逆水行驶到b地 水速为8km h 船在静水中的速度为vkm h 8 v v0 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12km h时 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船的实际速度为多少 解析答案 反思与感悟 解设每小时的燃料费为y1 比例系数为k k 0 则y1 kv2 当v 12时 y1 720 720 k 122 得k 5 令y 0 得v 16 当v0 16 即v 16km h时全程燃料费最省 ymin 32000 元 解析答案 反思与感悟 当v0 16 即v 8 v0 时 y 0 即y在 8 v0 上为减函数 综上 当v0 16时 v 16km h全程燃料费最省 为32000元 反思与感悟 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 反思与感悟 解析答案 同步训练 3 方底无盖水箱的容积为256 则最省材料时 它的高为 a 4b 6c 4 5d 8 解析设底面边长为x 高为h a 1 某产品的销售收入y1 万元 是产品x 千台 的函数 y1 17x2 生产总成本y2 万元 也是x的函数 y2 2x3 x2 x 0 为使利润最大 应生产 a 9千台b 8千台c 6千台d 3千台 1 2 3 4 解析答案 解析构造利润函数y y1 y2 18x2 2x3 x 0 y 36x 6x2 由y 0得x 6 x 0舍去 x 6是函数y在 0 上唯一的极大值点 也是最大值点 c 本课练习 1 2 3 4 解析答案 2 将一段长100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆形 当正方形与圆形面积之和最小时 圆的周长为 cm 1 2 3 4 解析答案 解析设弯成圆形的一段铁丝长为x 则另一段长为100 x 设正方形与圆形的面积之和为s 1 2 3 4 由于在 0 100 内 函数只有一个导数为0的点 问题中面积之和的最小值显然存在 规律与方法 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0的点的数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 2 正确理解题意 建立数学模型 利用导数求解是解答应用问题的主要思路 另外需要特别注意 1 合理选择变量 正确写出函数解析式 给出函数定义域 2 与实际问题相联系 3 必要时注意分类讨论思想的应用 返回 1 2 3 4 解析答案 练习 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 1 2 3 4 解设商品降价x元 则多卖的商品数为kx2 若记商品在一个星期的获利为f x 则有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 由已知条件 得24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 1 2 3 4 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解根据 1 f x 18x2