实验与探究《三角形中边与角之间的不等关系》教学设计.docx

实验与探究三角形中边与角之间的不等关系教学设计一、教学目标（一）让学生探究三角形中边与角之间的不等关系，即在一个三角形中“大边对大角”和 “大角对大边”。（二）通过对上面两个问题的探究知道利用相等关系来解决不等关系是研究几何问题常用的方法。（三）通过“观察-猜想-操作-探究-论证”等一系列活动，培养学生主动学习，合作学习和探究性学习的能力。（四）渗透转化和数形结合的数学思想。二、学情分析三角形中边与角之间的不等关系是在学过等腰三角形的性质和判定之后的拓展内容，它既是以前几何知识和几何思想方法的综合应用，又为将来学好几何不等问题奠定基础。3、 重点难点重点是三角形中边与角之间的不等关系及其探究过程。难点是一个三角形中“大边对大角”及“大角对大边”的论证过程，并引导学生添加辅助线。4、 教具准备 三角形纸片、剪刀、圆规、三角板等。五、教学过程（一）知识回顾1.等腰三角形具有什么性质？2.如何判定一个三角形是等腰三角形？从这两条结论来看，今后要在同一个三角形中证明两个角相等，可以先证明它们所对的边相等；同样要证明两条边相等可以先证明它们所对的角相等。（二）引入新课问题：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，相等的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等。 那么，不相等的边所对的角之间有怎样的大小关系呢？大边所对的角也大吗？不相等的角所对的边之间大小关系又怎样呢？是不是大角所对的边也大呢？ 这就是我们今天将要探究的问题。（三）探究新知 实验与探究1：如图，在ABC中，如果ABAC，C与B大小关系怎样？1.动手实验，观察猜想请同学们制作不等边三角形（统一制作ABC且ABAC），猜想C与B大小关系如何？2.验证猜想生：（1）量角器测量（2）折纸。师：几何画板演示3.归纳猜想： 生： 猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。4、证明猜想：已知：如图，在ABC中，ABAC。 求证：CB。想一想：证明角的不等关系的依据是什么？（三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角）追问：怎么将C转化为B所在三角形的外角呢？师启发引导分析后，学生动手操作:在ABC中，因为ABAC，那所以我们可以将ABC折叠，使边AC落在AB边上，点C落在AB上的点D处，折痕交BC于点E，则ADE=C，再利用AED是BDE的外角的关系得到ADEB，从而得到CB。追问：由上面的操作过程得到哪些启示？你能写出证明过程吗？ 证法一：证明：作BAC的平分线AE，在AB边上取点D，使AD=AC，连结DE。在ADE 和ACE 中AD=AC，BAE = CAE，AE = AE， ADE ACE ADE = CADEB CB师：从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”的问题。这种转化思想是研究几何问题的常用方法。思考：是否还有不同的方法来证明这个结论？证法二：证明：作BAC的平分线AE，延长AC到点D，使AD=AB，连结DE。在ABE 和ADE 中，AB=AD，BAE = DAE， AE = AE， ABE ADE B= DACBD ACBB方法总结：利用轴对称的性质（截长补短）构造全等三角形，将角进行转移，转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”从而证明角的不等关系。证法三：证明：在AB上截取AD，使，连接。，。ACB， ACB。， ACBB。想一想：本题还可以延长小边来证明吗？方法总结：将边与角之间的不等问题转化为边与角之间的相等问题解决。形成结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。（简写成“大边对大角”） 应用格式：如图在ABC中，ABAC，CB。（大边对大角）实验与探究2：在ABC中，如果CB，AB与AC大小关系怎样？AB大于AC吗？生猜想：ABAC。师几何画板演示想一想：证明线段不等关系的依据是什么？（三角形任意两边的和大于第三边）追问：怎样把AB转化为两条线段并与线段AC围成三角形呢？师启发引导分析后，学生动手操作：我们可以将ABC沿BC的垂直平分线DE折叠，使点B落在点C上，即DCB=B,于是=，这样=+=+。由上面的操作过程得到哪些启示？请写出证明过程证明：在较大的角ACB内作DCB=B,CD交AB于点D，DB=DC，AB=AD+DB=AD+DCAC.师：方法总结：利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题。这是几何中研究不等问题的常用方法。形成结论2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。应用格式：如图在ABC中，ACBABC，ABAC。（大角对大边）归纳：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等。在不等边的三角形中，大边对大角，小边对小角；大角对大边，小角对小边。（四）应用新知利用上述的两个结论，回答下面问题：1. 在ABC中，已知BCABAC,那么A、B、C有怎样的大小关系？2. 如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？3.直角三角形的哪一条边最大？为什么？（五）课堂小结1.本节课通过实验探究的方式得到哪两个结论？（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大。（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大。2.从实验探究的过程学到哪些方法？（1）可以利用图形的翻折、旋转等方法来研究几何图形中的边和角的大小关系。（2）利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题。（六）布置作业1.基础巩固如图，在ABC中，BAC=90，ABAC，A为高，求证：（）DABDAC（） 若BAC=90改为BAC为任意角（）中结论成立吗？2.拓广延伸如图I，在ABC中，D是BC中点 ，ABAC。（）判断DAB与DAC的大 小关系,并给予证明。（）求证：AB+AC2AD.图1