山东省冠县武训高级中学高二数学 7.1 直线的倾斜角和斜率同步辅导教材.doc

7.1 直线的倾斜角和斜率 一、本讲进度 7.1 直线的倾斜角和斜率 课本第34页至第38页二、本讲主要内容1、 初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念；2、 掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。三、学习指导1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支平面解析几何。它的研究对象是平面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素点与实数集中对有序实数对（x，y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如，直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语言可叙述为：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为“直线的方程”，这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系，所以可简说成“直线y=kx+b”。上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：点直线上坐标满足方程；有序数对是方程的解点在线上。2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：建立坐标系；设出必需的点的坐标；代数运算得到问题的代数解；代数解回到几何解。在用代数方法求解过程中，除未知数x、y及已知量外，有时还需引入适当参数。3、 倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。（1） 已知倾斜角为，求斜率k时0（0，）（）k0（0，+）不存在（-，0） （2）已知斜率k，求倾斜角时法一：k0时，=arctank k0 （0，） sin=，cos=则直线倾斜角为 tan 思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线倾斜角为，则直线mn倾斜角为2。下找关于tan的等量关系。 tan2=kmn=2 =2 tan+tan-1=0 tan= 20，） 0， tan=例3、已知p（3，-1），m（6，2），n（-），直线l过点p，求满足下列条件的l的倾斜角范围。（1） 直线l与线段mn相交；（2） 直线l与线段mn的延长线（或反向延长线）相交；解题思路分析：可首先求出直线l的斜率范围，画出示意图帮助分析。考虑临界状态： kpn=1，kpm=- （1）1k-，即1tan- tan在0，)上递增，由1tan得 tan在（，）上递增，由tna-得、当=时，l仍与mn相交综上所述，l倾斜角范围为或直接看示意图得到 （2）思路一：借助于集合的补集思想 kmn=当l绕点p绕转0，时，r当lmn时，直线l与直线mn无交点；否则，直线l与线段mn相交，或与mn是直线相交。 -，且 l倾斜角，或，且arctan思路二：从运动的角度，研究在0之间变化时，直线l与mn的位置关系。例4、若直线l的斜率k=1-m2（mr），求直线l的倾斜角范围。解题思路分析：首先求出斜率k的范围，将等量关系k=1-m2看成是k关于m的二次函数，则k1，即tan1。其次利用正切函数的单调性：0tan1时，0；tan。 0，（，）注：由tan范围求范围，也可利用单位圆或正切函数图象。 例5、过p（6，）的直线l与x轴、y轴分别交于a、b两点，若p分有向线段所成的分比=，求直线l的的斜率和倾斜角。解题思路分析：由斜率的坐标公式，只需求出a，或b的坐标即可。利用解方程的思想。思路一：设a（a，0），b（0，b）由分比公式得：，a=9 ，a（9，0），ab倾解角或利用分比公式：=得： ，b=，b（0，下略思路二：利用定比分点公式： 下同思路一。五、同步练习 （一）选择题 1、若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线倾斜角为：a、 b、 c、 d、2、设有斜率的直线一定是：a、过原点的直线 b、垂直于x轴的直线c、垂直于y的直线 d、垂直于坐标轴的直线3、下列命题中正确的是：a、 直线倾斜角为，则些直线的斜率为tanb、 直线的斜率为tan，则此直线倾斜角为c、 直线的倾斜角为，则sin0d、 直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或4、 若三点a（2，3），b（a，4），b（8，a）共线，则a值为：a、 0 b、5 c、0或5 d、0或-5 5、直线l：y=kx+6沿x轴负向平移3个单位，再沿y轴正向平移1个单位，回到原位置，则k等于：a、- b、-3 c、 d、36、已知直线l的倾斜角满足sin=，则直线l的斜率是：a、 b、 c、或- d、或-7、过点a（-2，m），b（m，4）的直线倾斜角为-arctan，则实数m的值是：a、10 b、2 c、0 d、-88、如图直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则：a、k1k2k3 b、k3k1k2 c、k3k2k1 d、k1k3k29、若是直线的倾斜角，则sin()值属于：a、（-1，） b、-1， c、（，） d、-，）10、过两点a（4，y），b（2，-3）的直线倾斜角是，则y等于：a、-1 b、-5 c、1 d、5 （二）填空题 11、直线l的倾斜角）（，则斜率k_。12、a（-1，1），b（x，2），c（-2，y）为直线l上之点，已知斜率k=2，则x=_，y=_。13、直线ab过a（3，-5（，b（0，-9），倾斜角为，（1） 直线cd的倾斜角为2，则kcd=_；（2） 直线ef的倾斜角为，则kef=_；14、已知a（cos，sin），b（cos，sin），、（0，），则直线ab斜率k=_，倾斜角=_。15、如图，abc为正三角形，cde=450，则三条直线ab、bc、ac的斜率分别是：kab=_kbc=_kac=_ （三）解答题16、过点p（-1，-）的直线l与y轴正半轴无公共点，求直线l的倾解角范围。17、已知a（m，m+1），b（2，m-1），求直线ab倾解角的值。18、已知m（2，-3），n（-3，-2），直线过点p（1，1）且与线段mn相交，求直线l斜率范围。19、用解析法证明：四边平方和等于两对角线平方和的四边形是平行四边形。20、求函数最小值。六、参考答案 （一）选择题 1、 a 。，。 2、 b 。 3、 c 。 4、 c 。kab，kac=，代入kab=kac得a2-5a=0，a=0，或a=5。 5、 a 。思路一：考虑方程特征，平移后直线方程为y-1=k(x+3)+b，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b，3k+1=0，k=-。思路二：考虑直线上的点，设p为l上任一点，p（x，y），点p平移后为p，p(x-3，y+1)。由已知p，p(x-3)，y+1)，由已知p l，。6、 d 。(