应用统计学3.ppt

第三章参数估计第一节参数的点估计一 参数点估计的一般提法点估计又称定值估计 是一种对未知的总体参数进行估计的统计方法 其估计结果是一个具体的数值 点估计问题的数学表述 样本 估计量 待估参数 估计值 是X的一个样本 是一个样本观察值 设总体为X 分布函数F X 统计量 观察值 二 参数点估计的求法矩估计法矩估计法就是通过下面两个估计式来实现的 1 用样本的一阶原点矩 样本均值 作为的估计 即 2 用样本的二阶中心矩 样本方差 作为的估计 即 矩估计 用样本原点矩来估计总体参数所得到的估计量称为矩估计量 记为若总体X分布中有m个待估参数 一般可考虑前m阶原点矩 通过计算期望值得到估计 对于未知参数作点估计有许多不同的方法 也可以得到许多不同的点估计量 要从中选取 好 的估计量 就需要有评价点估计的优良标准 衡量点估计量好坏的标准是 无偏性 有效性 一致性 三 点估计量的评价标准 一 无偏性 无偏性是指所选用的估计量的数学期望与总体待估参数的真值相等 则称是的无偏估计量 若 无偏性 抽样分布的期望值等于总体参数 二 有效性 设与都是的无偏估计量 若有D D 即的方差小于的方差 则称作为的估计比有效 一个好的估计量不仅要求它能围绕待估参数的真值摆动 而且希望摆动幅度越小越好 有效性 三 一致性一个好的估计量应该随着样本容量的增大 与被估参数 真值 的偏差越来越小 一致估计的直观意义是随着n的不断增大 估计值逐渐稳定于真值 一致性 随样本容量n的增大样本均值与总体均值的差异缩小 第二节参数的区间估计一 参数区间估计的一般提法区间估计给出了未知参数 的一个估计范围 这样的范围通常以区间的形式给出 即置信区间 区间估计还可以给出置信区间包含参数 真值的可信程度 区间估计基本概念 设总体的分布函数含有一个未知参数 对于给定值 0 1 区间估计仍从样本出发 寻找两个样本函数 即两个统计量和 使得由此产生的随机区间能以足够大的概率 1 包含未知参数 即有 则称随机区间是的置信度为1 的置信区间 和 分别称为置信度为1 的置信下限和置信上限 1 称为置信度 称为显著性水平 其中 0 1 为事先给定的小概率 显然 置信区间表达了估计的精确性 置信度反映的是估计的可靠程度 用一个置信区间去估计参数的方法 称为区间估计 区间估计示意图 二 单侧置信区间对于某些实际问题 例如设备 元件的寿命来说 一般只关心它们平均寿命的 下限 而对于产品的废品率p来说 一般只关心p的 上限 这就是讨论单侧置信区间的原因 对于给定的值 0 1 若由样本确定的统计量 满足称随机区间 是的置信度为1 的单侧置信区间 称为置信度为1 的单侧置信下限 若统计量满足称随机区 是的置信度为1 的单侧置信区间 称为置信度为1 的单侧置信上限 三 关于一个正态总体均值和方差的区间估计1 总体均值的区间估计 1 方差已知的情形估计用的随机变量 则的一个置信度为1 的置信区间 3 1 3 1 例 从一批钉子中随机抽取16枚 测得其长度 单位 cm 为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 假设钉子的长度X服从正态分布 已知 0 01 求总体均值的置信度为90 的置信区间 解 由观察值可得 2 125 已知 0 01 1 0 90 0 05 n 16 选取随机变量 由 0 1 查标准正态分布表得 计算 由此可得 置信度为90 的置信区间为 2 121 2 129 例 某保险公司自投保人中随机抽取36人 计算出此36人的平均年龄为39 5岁 已知投保人年龄分布近似服从标准差为7 2岁的正态分布 求所有投保人平均年龄99 的置信区间 2 方差未知的情形 随机变量 的一个置信度为1 的置信区间 3 2 例 同上例数据相同 同样假设钉子的长度X服从正态分布 但是总体方差未知 求总体均值的置信度90 的置信区间 解 由于未知 因此用随机变量 查t分布表得 计算置信下限为 计算置信上限为 故所求的的置信度为90 的区间为 2 117 2 133 例 某保险公司自投保人中随机抽取36人 计算出此36人的平均年龄为39 5岁 标准差为7 2岁 已知投保人年龄分布近似服从正态分布 求所有投保人平均年龄99 的置信区间 抽样中的正态分布和t分布问题 抽样中的正态分布和t分布问题 例 某金融机构共有8042张应收账款单 根据过去的记录 所有应收账款的标准差为3033 4元 现随机抽查了250张应收账款单 计算平均应收账款为3319元 求所有应收款平均应收账款98 的置信区间 2 总体方差的区间估计 1 均值已知的情形 估计用的随机变量 为已知时 方差的一个置信度为的置信区间 其中 可通过查分布表得到 2 均值未知的情形 为未知时 方差的一个置信度为的置信区间 例 某食品商加工一批咖啡罐头 担心罐头的重量差异太大 随机抽出15个罐头称其重量 得样本方差S2为1 652 假设罐头重量服从正态分布 求罐头重量方差90 的置信区间 四 关于两个正态总体的均值差的区间估计1 均为已知的情况 例 某厂某原料来自甲 乙两个厂家 为了估计这两个厂家该原料的差异 从甲厂家随机抽取了25个样品 从乙厂家抽取了16个样品 测试结果甲厂家原料的平均重量为22千克 乙厂家原料的平均重量为20千克 根据过去的记录 甲乙厂家原料重量均服从方差为10的正态分布 求甲乙厂家该原料重量差的95 的置信区间 2 均为未知的情况 例 为调查某市远郊和近郊地区农民的年末手存现金之间的差异 从近郊和远郊地区各自独立随机抽取了样本容量都是50的两个样本 计算得到近 远郊地区农民平均每户手存现金分别为650元 480元 标准差分别为120元 106元 求两地区农民平均手存现金差异的95 的置信区间 3 但未知 例 某厂某原料来自甲 乙两个厂家 为了估计这两个厂家该原料的差异 从甲厂家随机抽取了25个样品 从乙厂家抽取了16个样品 测试结果甲厂家原料的平均重量为22千克 样本方差为9 乙厂家原料的平均重量为20千克 样本方差为10 根据过去的记录 甲乙厂家原料重量均服从正态分布且方差相等 求甲乙厂家该原料重量差的95 的置信区间 五 关于比率P 总体成数 的区间估计1 对单个总体比率的区间估计 3 3 例 某电视台希望了解每日 晚间新闻 栏目的收视率 随机抽取了400人进行调查 结果表明有71 2 的人观看此节目 求该栏目收视率具有90 可靠性的置信区间 2 对两个总体比率差的区间估计 例 为调查城市居民与近郊居民对某项政策的态度之间的差别 从城市随机选出5000人 其中有2