高考数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 文.ppt

第二节不等式的证明 总纲目录 教材研读 1 比较法 考点突破 2 综合法与分析法 3 反证法 考点二用综合法 分析法证明不等式 考点一比较法证明不等式 考点三放缩法证明不等式 4 放缩法 5 平均值不等式 考点四柯西不等式的应用 1 比较法 1 作差法 a b r a b 0 a b a b0 b 0 1 a b 1 a b 1 a b 教材研读 2 综合法与分析法 1 综合法 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的 推理 论证而得出命题成立 综合法又叫顺推证法或由因导果法 2 分析法 证明命题时 从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的 充分条件 直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理 定理等 这是一种 执果索因的思考和证明方法 3 反证法先假设要证明的命题 不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的 推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设 不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 4 放缩法证明不等式时 通过把所证不等式的一边适当地 放大或缩小 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得出原不等式成立 这种方法称为放缩法 5 平均值不等式如果a1 a2 an为n个正数 则 当且仅当a1 a2 an时 等号成立 附 不等式证明的常用方法有 1 比较法 2 综合法 3 分析法 4 反证法 5 放缩法 6 换元法 7 构造法 1 已知a b r a b 2 则 的最小值为 a 1b 2c 4d 8 答案b a b r 且a b 2 a b 2 2 2 4 2 即 的最小值为2 当且仅当a b 1时 成立 故选b 2 若a b 1 x a y b 则x与y的大小关系是 a x yb x yc x yd x y 答案ax y a a b 由a b 1得ab 1 a b 0 所以 0 即x y 0 所以x y a 3 若a b m r 且a b 则下列不等式一定成立的是 a b c d 答案b a b m r 且a b 0 即 故选b b 4 设a b m n r 且a2 b2 5 ma nb 5 则的最小值为 答案 解析根据柯西不等式得 ma nb 当且仅当 a2 b2 5 ma nb 5 即m a n b 时取等号 故的最小值为 5 设a 0 b 0 若是3a与3b的等比中项 求证 4 证明由是3a与3b的等比中项得3a 3b 3 即a b 1 要证原不等式成立 只需证 4 即证 2 因为a 0 b 0 所以 2 2当且仅当 即a b 时 取等号 所以 4 6 若a b c 0 且a b c 1 求 的最大值 解析 2 1 1 1 2 12 12 12 a b c 3 当且仅当a b c 时 等号成立 2 3 故 的最大值为 典例1设a b是非负实数 求证 a3 b3 a2 b2 考点一比较法证明不等式 考点突破 证明 a b是非负实数 a3 b3 a2 b2 a2 b2 5 5 当a b时 从而 5 5 得 5 5 0 当a0 所以a3 b3 a2 b2 方法技巧作差比较法证明不等式的步骤 1 作差 2 变形 3 判断差的符号 4 下结论 其中 变形 是关键 通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式 再结合不等式的性质判断出差的正负 注 作商比较法也有类似的步骤 但注意其比较的是两个正数的大小 且第 3 步要判断商与1的大小 1 1已知a b都是正数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 a3 b3 a2b ab2 a b a b 2 因为a b都是正数 所以a b 0 又因为a b 所以 a b 2 0 于是 a b a b 2 0 即 a3 b3 a2b ab2 0 所以a3 b3 a2b ab2 1 2已知a b 0 证明 aabb ab 证明a b 0 当a b时 1 当a b时 1 0 则 1 当b a时 01 综上可知 aabb ab成立 典例2 2017课标全国 理 23 10分 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 考点二用综合法 分析法证明不等式 2 2 2015课标全国 理 24 10分 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 证明 1 因为 2 a b 2 2 c d 2 且a b c d ab cd 所以 2 2 因此 2 i 若 a b c d 则 a b 2 c d 2 典例3若a b r 求证 考点三放缩法证明不等式 证明当 a b 0时 不等式显然成立 当 a b 0时 由0 a b a b 所以 规律总结 1 在不等式的证明中 放 和 缩 是常用的推证技巧 常见的放缩变换 变换分式的分子和分母 如 以上不等式中k n k 1 利用函数的单调性 真分数性质 若00 则 2 在用放缩法证明不等式时 放 和 缩 均需把握一个度 3 1设n是正整数 求证 1 证明由2n n k n k 1 2 n 得 当k 1时 当k 2时 当k n时 所以 1 原不等式成立 典例4已知x y z均为实数 1 若x y z 1 求证 3 2 若x 2y 3z 6 求x2 y2 z2的最小值 考点四柯西不等式的应用 解析 1 证明 因为 2 12 12 12 3x 1 3y 2 3z 3 27 所以 3 当且仅当x y z 0时取等号 2 因为6 x 2y 3z 所以x2 y2 z2 当且仅当x 即x y z 时 x2 y2 z2有最小值 规律总结 1 使用柯西不等式证明的关键是恰当变形 化为符合它的结构形式 当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时 就可使用柯西不等式进行证明 2 利用柯西不等式求最值的一般结构 1 1 1 2 n2 在使用柯西不等式时 要注意右边为常数且应注意等号成立的条件 4 1设x y z r x2 y2 z2 25 试求x 2y 2z的最大值与最小值 解析根据柯西不等式 有 1 x 2 y 2 z 2 12 2 2 22 x2 y2 z2 即 x 2y 2z 2 9 25 所以 15 x 2y 2z 15 故x 2y 2z的最大值为15 最