高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 北师大版.ppt

第7节立体几何中的向量方法 一 证明平行与垂直 最新考纲1 理解直线的方向向量及平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 3 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 知识梳理 非零向量 2 空间位置关系的向量表示 n1 n2 0 n m 0 n m 0 常用结论与微点提醒 1 用向量知识证明立体几何问题 仍离不开立体几何中的定理 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 2 用向量证明立体几何问题 写准点的坐标是关键 要充分利用中点 向量共线 向量相等来确定点的坐标 1 思考辨析 在括号内打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 若直线a的方向向量和平面 的法向量平行 则a 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行 4 若直线a的方向向量与平面 的法向量垂直 则a 解析 1 直线的方向向量不是唯一的 有无数多个 2 a 3 两平面平行或重合 4 a 或a 答案 1 2 3 4 诊断自测 2 教材练习改编 已知平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 a b c 相交但不垂直d 以上均不对解析 n1 n2 且n1 n2 2 3 3 1 5 4 23 0 相交但不垂直 答案c 3 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为n 2 0 4 则 a l b l c l d l与 斜交解析 a 1 0 2 n 2 0 4 n 2a 即a n l 答案b 答案c 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1的中点 则直线on am的位置关系是 答案垂直 证明法一如图 取bd的中点o 以o为原点 od op所在射线分别为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系o xyz 法二在线段cd上取点f 使得df 3fc 连接of 同法一建立空间直角坐标系 写出点a b c的坐标 设点c坐标为 x0 y0 0 规律方法1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 训练1 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f g分别为ab ad aa1的中点 求证 平面efg 平面b1cd1 证明建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 1 0 d 0 0 0 a1 1 0 1 b1 1 1 1 d1 0 0 1 设n1 x1 y1 z1 为平面efg的法向量 n2 x2 y2 z2 为平面b1cd1的一个法向量 令x1 1 可得y1 1 z1 1 同理可得x2 1 y2 1 z2 1 则n1 1 1 1 n2 1 1 1 由n1 n2 得平面efg 平面b1cd1 考点二利用空间向量证明垂直问题 例2 如图所示 已知四棱锥p abcd的底面是直角梯形 abc bcd 90 ab bc pb pc 2cd 侧面pbc 底面abcd 证明 1 pa bd 2 平面pad 平面pab 证明 1 取bc的中点o 连接po 平面pbc 底面abcd bc为交线 po 平面pbc pbc为等边三角形 即po bc po 底面abcd 以bc的中点o为坐标原点 以bc所在直线为x轴 过点o与ab平行的直线为y轴 op所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 又 pa pb p pa pb 平面pab dm 平面pab dm 平面pad 平面pad 平面pab 规律方法1 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 证明由题设易知oa ob oa1两两垂直 以o为原点建立如图所示的空间直角坐标系 所以a1c bd a1c bb1 又bd bb1 b bd bb1 平面bb1d1d 所以a1c 平面bb1d1d 1 证明因为平面pad 平面abcd ab ad 所以ab 平面pad 所以ab pd 又因为pa pd且ab pa a pa ab 平面pab 所以pd 平面pab 2 解取ad的中点o 连接po co 因为pa pd 所以po ad 又因为po 平面pad 平面pad 平面abcd 所以po 平面abcd 因为co 平面abcd 所以po co 因为ac cd 所以co ad 如图 建立空间直角坐标系o xyz 由题意得 a 0 1 0 b 1 1 0 c 2 0 0 d 0 1 0 p 0 0 1 命题角度2与垂直有关的探索性问题 例3 2 如图 正方形adef所在平面和等腰梯形abcd所在的平面互相垂直 已知bc 4 ab ad 2 1 求证 ac bf 1 证明 平面adef 平面abcd 平面adef 平面abcd ad af ad af 平面adef af 平面abcd 又ac 平面abcd af ac ab af a ab af 平面fab ac 平面fab bf 平面fab ac bf 假设在线段be上存在一点p满足题意 则易知点p不与点b e重合 训练3 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1c1c是边长为4的正方形 平面abc 平面aa1c1c ab 3 bc 5 1 求证 aa1 平面abc 证明 1 因为aa1c1c为正方形 所以aa1 ac 因为平面abc 平面aa1c1c aa1 平面aa1c1c 且aa1