【命题探究】高考数学知识点讲座 考点19 平面向量的坐标运算、数量积（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点19平面向量的坐标运算、数量积（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标掌握平面向量的基本定理，会进行向量的正交分解；理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及其几何意义；数量积的性质及运算规律；数量积的坐标表示；数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题二.知识梳理1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2.平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则3.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:0时,与同向;0时,与异向;=0时, =向量的数量积是一个数或时,=0且时,4.两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定5.向量的投影：cos=r，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影6.数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积7.向量的模与平方的关系：8.乘法公式成立： ；9.平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=10.两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=11.向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则aob= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题12.垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作13.两个非零向量垂直的充要条件：o平面向量数量积的性质三.考点逐个突破1.向量的坐标运算例1.如图，abc中，addb，aeec，cd与be交于f，设a，b，xayb，则(x，y)为a. b. c. d.答案c解析设，e、d分别为ac、ab的中点，ab，(ba)(ab)a(1)b，与共线，bbab，故x，y.2.向量共线的条件例2.（1）已知向量a(sinx,1)，b(cosx，3)，且ab，则tanx_.答案解析ab，tanx.(2)已知a(2，3)，b(sin，cos2)，若ab，则tan_.答案解析ab，2cos23sin，2sin23sin20，|sin|1，sin，cos，tan.3.平面向量的基本定理例3. (1)已知e1(2,1)，e2(2，1)，点p的坐标(x，y)满足方程y21，若ae1be2(a，br，o为坐标原点)，则a、b满足的一个等式是_答案4ab1解析因为e1(2,1)，e2(2，1)，所以ae1be2a(2,1)b(2，1)(2a，a)(2b，b)(2a2b，ab)因为点p的坐标为(x，y)，所以(x，y)，即.因为x，y满足方程y21，所以(ab)21，化简可得4ab1，此即为a、b满足的一个等式(2)如图，在abc中，d、e分别是bc、ac的中点，f为ab上一点，且4，若xy，则x_，y_.答案21解析(如图)因为42.所以x2，y1.(3)在abc中，过中线ad的中点e任作一条直线分别交ab、ac于m、n两点，若x，y，则4xy的最小值为_答案解析如图所示，由题意知()，又m，e，n三点共线，所以(1)(其中01，则4xyt(t1)，当且仅当t，即时取得等号4.向量的数量积例4. （1）已知a、b、c是圆o：x2y2r2上三点，且，则等于a0 b. c.d答案a解析a、b、c是o上三点，|r(r0)，()()|2|20，故选a.（2）若等边三角形a bc的边长为2，平面内一点m满足，则_.答案2解析以ab所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则a，b，c三点的坐标分别为(，0)，(，0)，(0,3)设m点的坐标为(x，y)，则(x，y3)，(，3)，(，3)，又，即(x，y3)(，)，可得m(，)，所以2.5.向量的模例5设角a，b，c是abc的三个内角，已知向量m(sinasinc，sinbsina)，n(sinasinc，sinb)，且mn.(1)求角c的大小；(2)若向量s(0，1)，t，试求|st|的取值范围解析(1)由题意得mn(sin2asin2c)(sin2bsinasinb)0，即sin2csin2asin2bsinasinb，由正弦定理得c2a2b2ab，再由余弦定理得cosc.因为0c，所以c.(2)因为st(cosa，cosb)，所以|st|2cos2acos2bcos2acos2cos2asin2a1sin1.因为0a，所以2a，则sin1，所以sin(2a)，所以|st|2，故|st|0)，a，b的夹角为，由题设知(ab)2c2，即2m22m2cosm2，得cos.又0180，所以120，即a，b的夹角为120，故选b.(2)若向量a、b满足|a|b|1，(ab)b，则向量a、b的夹角为a30 b45 c60 d90答案c解析(ab)bb2ab1ab，ab，即|a|b|cosa，b，cosa，b，a，b60，故选c.7.向量的投影例7.(1) 已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的射影数量是a. b1c2d3答案b解析向量b在a上的射影数量为l|b|cos601.(2)已知点a、b、c在圆x2y21上，满足20(其中o为坐标原点)，又|，则向量在向量方向上的射影数量为a1 b1 c. d答案c解析由2()()0得，即o、b、c三点共线又|1，故向量在向量方向上的射影数量为|cos.8.向两平行于垂直的充要条件例8.(1) 在abc中，a、b、c分别是a，b，c所对的边，设向量m(bc，ca)，n(b，ca)，若mn，则a的大小为