高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数课件 苏教版必修1.ppt

3 3幂函数 第3章指数函数 对数函数和幂函数 1 了解幂函数的概念 会求幂函数的解析式 2 结合幂函数y x y x2 y x3 学习目标 3 能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 掌握它们的性质 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一幂函数的概念 答案 一般地 我们把形如的函数称为叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 思考 1 任意一次函数和二次函数都是幂函数吗 若函数y mx 是幂函数 m应满足什么条件 答并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数 只有其中的y x和y x2是幂函数 若y mx 是幂函数 则必有m 1 y x 2 幂函数与指数函数有何区别 答案 答幂函数与指数函数不同点在于 幂函数形式为y x r 其自变量x处于底数位置 常数 处于指数位置 而指数函数形式为y ax a 0 a 1 其自变量x处于指数位置 常数a处于底数位置 且a须满足大于0而且不等于1 答案 知识点二幂函数的图象与性质 0 0 0 答案 返回 0 奇 增 奇 增 奇 增 减 减 1 1 增 偶 减 题型探究重点突破 解析答案 题型一幂函数的概念 解设f x x 故f x x2 f 2 22 4 解析答案 反思与感悟 解 f x 为幂函数 a2 3a 3 1 得a 1或a 2 当a 1时 f x x 在 0 上单调递增 不合题意 当a 2时 f x x 1 在 0 上单调递减 符合题意 综上 得a的值为2 1 幂函数的特点 系数为1 底数为自变量 指数为常数 2 当 0时 幂函数在第一象限内单调递增 当 0时 幂函数在第一象限内单调递减 反思与感悟 解析答案 解根据幂函数定义得 m2 m 1 1 解得m 2或m 1 当m 2时 f x x3在 0 上是增函数 当m 1时 f x x 3在 0 上是减函数 不合题意 f x 的解析式为f x x3 解析答案 题型二幂函数的图象 例2如图所示 图中的曲线是幂函数y xn在第一象限的图象 已知n取 2 四个值 则相应于c1 c2 c3 c4的n值依次为 反思与感悟 反思与感悟 解析考虑幂函数在第一象限内的增减性 注意当n 0时 对于y xn n越大 y xn递增速度越快 n 0时看 n 的大小 根据幂函数y xn的性质 在第一象限内的图象当n 0时 n越大 y xn递增速度越快 当n 0时 n 越大 曲线越陡峭 幂函数图象的特征 1 在第一象限内 直线x 1的右侧 各幂函数图象对应的指数逆时针增大 在第一象限内 直线x 1的左侧 指数也呈逆时针增大 2 幂函数y x 若 0 在第一象限内函数单调递增 若 1 曲线下凹 若 0 曲线下凹 反思与感悟 跟踪训练2如图是幂函数y xm与y xn在第一象限内的图象 则下列结论正确的是 1 n 0 m 1 n 1 0 m 1 1 n 0 m 1 n 1 m 1 解析答案 解析方法一在 0 1 内取同一值x0 作直线x x0 与各图象有交点 如图所示 根据 点低指数大 有0 m 1 n 1 方法二根据幂函数图象增减性知m 0 n 0 由x 1右侧指数逆时针增大 知n 1 由图象上凸知0 m 1 故 正确 答案 题型三比较幂的大小 例3比较下列各组数的大小 解析答案 又3 3 1 解3 4 32 2 9 2 函数y x 2在 0 上为减函数 反思与感悟 解析答案 1 比较幂值的大小 关键在于构造适当的函数 若指数相同而底数不同 则构造幂函数 若指数不同而底数相同 则构造指数函数 2 若指数与底数都不同 需考虑是否能把指数或底数化为相同 是否可以引入中间量 反思与感悟 跟踪训练3比较下列各组数的大小 解析答案 2 3 143与 3 解 y x3是r上的增函数 且3 14 3 143 3 3 143 3 例4判断下列函数的奇偶性 题型四幂函数的奇偶性 f x 为偶函数 2 y x 2 解析答案 f x 的定义域为 0 不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 解析答案 反思与感悟 幂函数的奇偶性 y xn 反思与感悟 是最简分数时 若p q均为奇数 则y xn是奇函数 若p为偶数 q为奇数 则y xn是偶函数 若q为偶数 则y xn为非奇非偶函数 跟踪训练4函数y 在 1 1 上是 填 增函数 或 减函数 且是 填 奇函数 或 偶函数 解析由幂函数的性质知当 0时 y x 在第一象限内是增函数 奇函数的图象关于原点对称 当x 0时 y 0 增函数 奇函数 解析答案 忽略幂函数定义致误 易错点 解析答案 解析答案 错解根据幂函数的定义y x 为常数 所以a的取值范围是 a a 1 正解根据幂函数的定义y x 为常数 知a2 1 1 即a 0 纠错心得若给出的函数为幂函数 则此时该函数是形如y x 的函数 且具有如下特征 系数为1 底数为自变量 指数为常数 这是我们解题的有效切入点 应准确把握 解析答案 所以m2 m 1 1 即 m 2 m 1 0 所以m 2或m 1 当m 2时 m2 2m 3 3 y x 3是幂函数 且在 0 上是减函数 当m 1时 m2 2m 3 0 y x0 1 x 0 不是减函数 所以m 2 此时y x 3 所以函数的定义域是 x x r且x 0 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 答案 1 下列给出的函数中 是幂函数的是 y 3x y 2x3 y x 3 y x3 1 1 2 3 4 5 2 若函数y k2 k 5 x2是幂函数 则实数k的值为 解析答案 解析由幂函数的概念可知k2 k 5 1 即k2 k 6 0 得k 2 或k 3 3或 2 1 2 3 4 5 解析答案 解析由于f 0 0 所以排除 所以f x 是偶函数 图象关于y轴对称 1 2 3 4 5 解析答案 m 1 若f x 是幂函数 则m 1 1 m 2 1 2 1 2 3 4 5 解析答案 a b c 而c 2 3 23 0 a b c 课堂小结 1 幂函数y x 的底数是自变量 指数是常数 而指数函数正好相反 底数是常数 指数是自变量 2 幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x 1的右侧 图象从上到下 相应的指数由大变小