【导与练】高考数学 试题汇编 第二节 三角函数的图象和性质 理（含解析）.doc

第二节三角函数的图象和性质 三角函数的性质考向聚焦高考重点考查内容,主要考查:(1)利用三角函数的图象和性质,求解简单三角函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性等问题.(2)结合两角和与差的公式、倍角公式等知识先化简再求函数的上述性质.一般以客观题的形式出现,难度中低档,所占分值45分备考指津训练题型:(1)根据三角函数的性质确定解析式中的参数,再确定函数其他的性质.(2)对函数解析式进行化简再求函数性质,注重化简的方法技巧,做到快速准确1.(2012年湖南卷,理6,5分)函数f(x)=sin x-cos(x+6)的值域为()(a)-2,2(b)-3,3(c)-1,1(d)-32,32解析:f(x)=sin x-cos(x+6)=sin x-32cos x+12sin x=32sin x-32cos x=3sin(x-6),所以函数f(x)的值域为-3,3,故选b.答案:b. 在研究三角函数性质(单调区间、周期性、值域等)时,先通过三角恒等变换把函数变为f(x)=asin(x+)+k的形式,再讨论其性质.2.(2012年天津卷,理2,5分)设r,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xr)为偶函数”的()(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件解析:本小题主要考查三角函数的奇偶性,属容易题.=0时,f(x)=cos x,显然是偶函数;而f(x)=cos(x+)是偶函数时, =k(kz), 不一定等于0.故选a. 答案:a.3.(2012年新课标全国卷,理9,5分)已知0,函数f(x)=sin(x+4)在(2,)单调递减,则的取值范围是()(a)12,54(b)12,34(c)(0,12(d)(0,2解析:由三角函数单调性考查参数范围,略有难度.0,由2k+2x+42k+32(kz)得f(x)单调减区间为2k+4,2k+54,kz.又f(x)在(2,)上单调递减,22k+42k+54即4k+122k+54,由0及kz知,只能k=0,即1254.答案:a.4.(2012年上海数学,理18,5分)设an=1nsin n25,sn=a1+a2+an.在s1,s2,s100中,正数的个数是()(a)25(b)50(c)75(d)100解析:易知a1,a2,a3,a25均为非负值,且|a26|a24|,同理,|a27|a23|,|a49|0)在区间0,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,则等于()(a)3(b)2(c)32(d)23解析:据条件可知,f(x)=sin x在x=3处取得最大值1,即sin 3=1,3=2k+2(kz).=6k+32,kz,结合选项得=32,故选c.答案:c.6.(2011年安徽卷,理9)已知函数f(x)=sin(2x+),其中为实数.若f(x)|f(6)|对xr恒成立,且f(2)f(),则f(x)的单调递增区间是()(a)k-3,k+6(kz)(b)k,k+2(kz)(c)k+6,k+23(kz)(d)k-2,k(kz)解析:由f(x)|f(6)|对xr恒成立知x=6时,f(x)取得最值,故3+=k+2(kz), =k+6(kz),又f(2)f(),即sin0.(1)求函数y=f(x)的值域;(2)若f(x)在区间-32,2上为增函数,求的最大值.解:(1)f(x)=4(cos xcos 6+sin xsin 6)sin x+cos 2x=4(32cos x+12sin x)sin x+cos 2x=23sin xcos x+2sin2x+1-2sin2x=3sin 2x+1-1sin 2x1,f(x)=3sin 2x+11-3,1+3函数f(x)的值域为1-3,1+3.(2)由-2+2k2x2+2k(kz)得-4+kx4+k(kz),f(x)在-4+k,4+k(kz)上为增函数,x-32,2时,f(x)为增函数,-32,2-4+k,4+k对某个整数k成立,易知必有k=0,-32,2-4,4,-4-3242,16,的最大值是16. 本题主要考查利用三角公式求三角函数的解析式,三角函数的最值、单调区间及知函数单调性求参数问题,如何把问题进行等价转化是解题的关键,难度适中.12.(2011年北京卷,理15)已知函数f(x)=4cos xsin(x+6)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-6,4上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=4cos xsin(x+6)-1=4cos x(32sin x+12cos x)-1=3sin 2x+2cos2x-1=3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+6),f(x)的最小正周期为.(2)-6x4,-62x+623.当2x+6=2时,即x=6时,f(x)取得最大值2,当2x+6=-6,即x=-6时,f(x)取得最小值-1.13.(2010年广东卷,理16)已知函数f(x)=asin(3x+)(a0,x(-,+),0)在x=12时取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的解析式;(3)若f(23+12)=125,求sin .解:(1)由f(x)=asin(3x+),得f(x)的最小正周期为t=23.(2)由题意f(x)在x=12时取得最大值4,所以a=4,sin(4+)=1,4+=2+2k(kz),即=4+2k(kz),又00),将y=f(x)的图象向右平移3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于()(a)13(b)3(c)6(d)9解析:f(x-3)=cos(x-3)=cos x,即cos(x-3)=cos x,-3=2k(kz),=-6k,kz,又0,则k=-1时min=6,故选c.答案:c.16.(2012年山东卷,理17,12分)已知向量m=(sin x,1),n=(3acos x,a2cos 2x)(a0),函数f(x)=mn的最大值为6.(1)求a;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在0,524上的值域.解:f(x)=mn=(sin x,1)(3acos x,a2cos 2x)=3asin xcos x+a2cos 2x=32asin 2x+a2cos 2x=asin(2x+6).(1)f(x)的最大值为6,a0,a=6.(2)由(1)f(x)=6sin(2x+6),将f(x)的图象向左平移12个单位后,其解析式为y=6sin2(x+12)+6=6sin(2x+3),再将横坐标缩短为原来的12倍后,得到的解析式为y=6sin(4x+3),即g(x)=6sin(4x+3).x0,524,4x+33,76,g(x)-3,6.17.(2012年四川卷,理18,12分)函数f(x)=6cos2x2+3sin x-3(0)在一个周期内的图象如图所示,a为图象的最高点,b、c为图象与x轴的交点,且abc为正三角形.(1)求的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=835,且x0(-103,23),求f(x0+1)的值.解:(1)由已知可得,f(x)=3cos x+3sin x=23sin(x+3).所以正三角形abc的高为23,从而bc=4.所以函数f(x)的周期t=42=8,即2=8,=4.函数f(x)的值域为-23,23.(2)因为f(x0)=835,由(1)有f(x0)=23sin(x04+3)=835,即sin(x04+3)=45.由x0(-103,23),知x04+3(-2,2),所以cos(x04+3)=1-(45)2=35,故f(x0+1)=23sin(x04+4+3)=23sin(x04+3)+4=23sin(x04+3)cos 4+cos(x04+3)sin 4=23(4522+3522)=765.18.(2010年山东卷,理17)已知函数f(x)=12sin 2xsin +cos2xcos -12sin(2+)(0),其图象过点(6,12).(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在0,4上的最大值和最小值.解:(1)因为函数f(x)的图象过点(6,12),所以12=12sin3sin +cos26cos -12sin(2+),即32sin +12cos =1,即sin(+6)=1,00,当变大时,图象缩短,变小时,图象伸长.求函数的解析式考向聚焦高考中考查三角函数y=asin(x+)的解析式,主要考查其中参数a、的确定方法,题目一般以图象一部分或语言描述特征的方式给出确定a、的条件,多以客观题出现,难度不大,属于基础题,在解答题中仅会以一问的形式出现,所占分值5分左右备考指津求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法,即把已知点的坐标代入三角函数y=asin(x+)的解析式中,求出需要确定的系数a、,得到三角函数的解析式;若已知y=asin(x+)的一段图象,也可根据题目的几何意义求得a、的值,从而得到所求的函数解析式19.(2011年江苏卷,9)函数f(x)=asin(x+)(a, 为常数,a0,0)的部分图象如图所示,则f(0)的值是.解析:由图知a=2,t4=712-3=4,t=,2=,=2,f(x)=2sin(2x+),将点(712,-2)代入得:-2=2sin(2712+)=-2sin(6+),sin(6+)=1,6+=2k+2(kz),=3+2k(kz),f(x)=2sin(2x+3+2k)=2sin(2x+3),f(0)=2sin 3=62.答案:6220.(2011年辽宁卷,理16)已知函数f(x)=atan(x+)(0,| |2),y=f(x)的部分图象如图,则f(24)=.解析:由图象知f(x)周期为2,2=,=2,则f(x)=atan(2x+),又f(0)=atan =1,f(38)=atan(34+)=0,tan(34+)=0,而|0,0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设(0,2),f(2)=2,求的值.解:(1)f(x)=asin(x-6)+1(a0,0)f(x)的最大值为3,得a+1=3,a=2函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2,得22=2,=2f(x)=2sin(2x-6)+1.(2)f(2)=2sin(-6)+1=2,即sin(-6)=12.02,-6-63,-6=6,故=3. 此题重在解析式的确定,继而在规定范围内求值,难度不大,中档.(2011年天津卷,理15,13分)已知函数f(x)=tan(2x+4).(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)设(0,4),若f(2)=2cos 2,求的大小.解:(1)由2x+42+k,kz1分得x8+k2,kz2分所以f(x)的定义域为 xr|x8+k2,kz3分f(x)的最小正周期为2.5分第(1)问赋分细则:(1)求解过程中没有写kz扣1分;(2)f(x)的定义域写成集合时kz放在集合内,写成区间时kz放在区间后,写错格式扣1分;(3)f(x)的最小正周期可以直接写出,得2分.(2)由f(2)=2cos 2得tan(+4)=2cos 26分得sin(+4)cos(+4)=2(cos2-sin2)7分整理得sin+coscos-sin=2(cos +sin )(cos -sin )9分因为(0,4),所以sin +cos 010分因此(cos -sin )2=12,即sin 2=1211分由于(0,4),得2(0,2)12分所以2=6,即=12.13分第(2)问赋分细则:(1)tan(+4)=2cos 2的化简方法很多,只要正确即可相应得分;(2)若没有