【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3．3导数在函数最值及生活实际中的应用教学案 新人教B版.doc

3.3导数在函数最值及生活实际中的应用1会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2会用导数解决某些实际问题1函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b上_有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)_有最大值与最小值(2)求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的_值；将f(x)的各_值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2解决优化问题的基本思路1函数f(x)，x0,4的最大值是()a0 b. c. d.2函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()a0a1 b0a1c1a1 d0a3函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值是_，最小值是_. 4当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s时，它的底面半径为_时，才能使饮料罐的体积最大5已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件一、函数的最值与导数【例11】已知f(x)xln x.(1)求函数yf(x)的图象在xe处的切线方程；(2)设实数a0，求函数f(x)在a,2a上的最小值【例12】 已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，br)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值方法提炼1求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2函数极值与最值的区别与联系：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值请做演练巩固提升1,4二、运用导数证明不等式问题【例2】 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.方法提炼利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)什么时候可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口请做演练巩固提升5三、利用导数解决实际生活中的优化问题【例31】在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)【例32】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率p与日产量x(xn*)件之间的关系为p，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值方法提炼利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；2求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；4还原到原实际问题中作答请做演练巩固提升2关于导数主观题的规范解答【典例】 (12分)已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方分析：规范解答：(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，(1分)令f(x)0得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x(1，)时，函数f(x)单调递增，(4分)所以f(x)在x1处取得极小值为.(5分)(2)当a1时，易知函数f(x)在1，e上为增函数，(6分)f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(7分)(3)设f(x)f(x)g(x)x2ln x x3，则f(x)x2x2，(9分)当x1时，f(x)0，故f(x)在区间(1，)上是减函数又f(1)0，在区间1，)上，f(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立(11分)因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方(12分)答题指导：1.导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间，关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用2对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题1函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为()a bc1， d(1，)2如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为()a长102米，宽米 b长150米，宽66米c长、宽均为100米 d长150米，宽米3若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_4(2012重庆高考)已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值5已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a2，证明对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.6如图所示，将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花坛ampn，要求m在ab的延长线上，n在ad的延长线上，且对角线mn过c点已知ab3米，ad2米(1)设anx(单位：米)，要使花坛ampn的面积大于32平方米，求x的取值范围；(2)若x3,4)(单位：米)，则当am，an的长度分别是多少时，花坛ampn的面积最大？并求出最大面积参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)必不一定(2)极极f(a)，f(b)2用函数表示的数学问题基础自测1b解析：f(x)ex(1x)，令f(x)0，x1.又f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值2b解析：y3x23a，令y0，可得ax2.又x(0,1)，0a1.3515解析：f(x)6x26x12，令f(x)0，即6x26x120，则x1或x2.又x0,3，故x1应舍去当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：x0(0,2)2(2,3)3f(x)0f(x)5154f(x)max5，f(x)min15.4.解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为r，高为h.s2rh2r2hv(r)r2(s2r2)rsrr3v(r)s3r2，令v(r)0，r.因v(r)只有一个极值点，故它就是最大值点59解析：因为yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值考点探究突破【例11】 解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，f(e)e，且f(e)2，函数yf(x)在xe处的切线方程为y2(xe)e，即y2xe.(2)f(x)(ln x1)，令f(x)0得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增当a时，f(x)在a,2a上单调递增，f(x)minf(a)ln a；当a2a，即a时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf；当2a，即0a时，f(x)在a,2a上单调递减f(x)minf(2a)2ln 2a.【例12】 解：(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0.因此f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令g(0)0，解得x1，x2，则当x或x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是减函数；当x时，g(x)0，从而g(x)在，上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).【例2】 (1)解：由f(x)ex2x2a，xr知f(x)ex2，xr.令f(x)0，得xln 2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xr，于是g(x)ex2x2a，xr.由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.【例31】 d解析：下图为圆木的横截面，b2h2d2，bh2b(d2b2)设f(b)b(d2b2)，f(b)3b2d2.令f(b)0，由于b0，bd，且在上f(b)0，在上，f(b)0.函数f(b)在bd处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长hd.【例32】 解：(1)y4 000x2 000x3 600xx3，所求的函数关系式是yx33 600x(xn*,1x40)(2)由(1)知y3 6004x2.令y0，解得x30.当1x30时，y0；当30x40时，y0.函数yx33 600x(xn*,1x40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数当x30时，函数yx33 600x(xn*,1x40)取得最大值，最大值为3033 6003072 000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72 000元演练巩固提升1a解析：f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x.0x，f(x)0，f(x)在上不恒为0，f(x)在上为增函数，f(x)的最大值为f，f(x)的最小值为f(0)，f(x).2d解析：设鱼塘长、宽分别为y米、x米，依题意xy10 000.设占地面积为s，则s(3x8)(y6)18x30 048，令s180，得x.此时y150.31解析：f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，若当x时，f(x)max，1，不合题意f(x)maxf(1)，a1.4解：(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.5解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，令f(x)0，解得x.则当x时，f(x)0；x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：不妨假设x1x2.由(1)知当a2时，f(x)在(0，)上单调递减所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1