【志鸿优化设计】（湖南专用）高考数学一轮复习 第二章函数2.8函数与方程教学案 理.doc

2.8函数与方程1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xd)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点_，_无交点零点个数_3二分法(1)二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算_；若_，则c就是函数的零点；若_，则令bc(此时零点x0(a，c)；若_，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步1在以下区间中，存在函数f(x)x33x3的零点的是()a1,0 b1,2c0,1 d2,32如果二次函数yx2mx(m3)有两个不同的零点，则m的取值范围是()a(2,6) b2,6c2,6 d(，2)(6，)3下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()4(2012北京高考)函数f(x)x的零点个数为()a0 b1 c2 d35用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，可得f(x)3xx4的一个零点的近似值(精确到0.01)为_一、函数零点的求解与判定【例11】(2012湖北高考)函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为()a2b3c4d5【例12】已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_方法提炼1判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断2函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点提醒：函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点请做演练巩固提升1二、二分法的应用【例2】 在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_方法提炼利用二分法求近似解需注意的问题：(1)第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)f(b)0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的提醒：(1)对于方程f(x)g(x)的根，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，函数f(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则yf(x)在区间a，b上的图象不一定是连续不断的图象，也不一定总有f(a)f(b)0成立，如下图(1)(2)所示：请做演练巩固提升2三、函数零点的综合应用【例31】 是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由【例32】 设f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若关于x的函数f(x)g(x)f(x)m在1,2上有零点，求m的取值范围方法提炼已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解请做演练巩固提升3函数零点命题的新考向【典例】 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nn*，则n_.解析：a2，f(x)logaxxb在(0，)上为增函数，且f(2)loga22b，f(3)loga33b，2a3b4，0loga21，22b1.2loga22b0.又1loga32，13b0，0loga33b2，即f(2)0，f(3)0.又f(x)在(0，)上是单调函数，f(x)在(2,3)必存在唯一零点答案：2答题指导：1本题避开函数的零点的常规命题考向：确定零点所在区间或判断零点的个数，而是通过以下两个角度进行命题：(1)改变了考查单一零点知识点的命题方式，而是与函数的单调性相结合命题(2)改变了常规的考查方式，需要利用对数的运算性质及对数函数的单调性去探究零点所在区间2对函数的零点除掌握好常规的考向外，在复习中还应关注以下几个问题：(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题(2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题(3)与导数的应用综合在一起的解答题1方程2xx23的实数解的个数为()a2 b3 c1 d42在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()a. b.c. d.3若f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()a. b.c. d.4定义在r上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x2，则函数yf(x)log5|x1|的零点个数是()a8 b9c10 d115(2012湖南高考)设定义在r上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数当x0，时，0f(x)1；当x(0，)且x时，f(x)0，则函数yf(x)sin x在2，2上的零点个数为()a2 b4c5 d8参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)f(x)0(2)x轴零点(3)f(a)f(b)0(a，b)f(c)0c2(x1,0)(x2,0)(x1,0)2103(1)f(a)f(b)0一分为二零点(2)f(a)f(b)0f(c)f(c)0f(a)f(c)0f(c)f(b)0基础自测1c解析：注意到f(1)70，f(0)30，f(1)10，f(2)110，f(3)330，结合各选项知，选c.2d解析：依题意，有m24(m3)0，即(m6)(m2)0，解得m6或m2，选d.3c解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.a，b中不存在f(x)0，d中函数不连续，故选c.4. b解析：函数f(x)=的零点个数即为方程=的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y=和函数y=的图象，两图象的交点个数即为f(x)=的零点个数，如图所示，其零点个数为1.51.56解析：由表中f(1.562 5)0.003，f(1.556 2)0.029，可知零点近似值为1.56.考点探究突破【例11】 d解析：令f(x)xcos 2x0，得x0或cos 2x0，故x0或2xk，kz，即x0或x，kz.又x0,2，故k可取0,1,2,3，故零点的个数为5.【例12】 (2,3)解析：(1k)24k(1k)20对一切kr恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即(63k)(124k)0，2k3.实数k的取值范围为(2,3)【例2】解析：区间(1,2)的中点x0，令f(x)x32x1，f40，f(2)8410，则根所在区间为.【例31】解：(3a2)24(a1)0，若实数a满足条件则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解之得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a或a1.【例32】解：令f(x)0，即log2(2x1)log2(2x1)m0，mlog2(2x1)log2(2x1)log2log2.1x2，32x15.1.log2log2log2，即log2mlog2.演练巩固提升1a解析：构造函数y2x与y3x2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2xx23的实数解的个数为2.故选a.2c解析：f(x)是r上的增函数且图象是连续的，且f4320，f4310，f(x)在内存在唯一零点3c解析：由题意得得m.4c解析：由题意知偶函数f(x)的周期t2.在