【志鸿全优设计】高中数学 1.2应用举例(第4课时)目标导学 新人教A版必修5.doc

第4课时几何计算问题1复习巩固正弦定理、余弦定理2能用正弦定理、余弦定理计算三角形的面积等1正弦定理【做一做1】 在abc中，a，a45，则abc外接圆的半径r等于()a1 b2c4 d无法确定2余弦定理【做一做2】 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()a90 b120 c135 d1503几何计算问题在abc中，边bc，ca，ab上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)habsin c_；(2)hbcsin a_；(3)hcasin b_；(4)s_.三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有：(1)pabc(p为三角形的周长)；(2)abc；(3)saha(ha表示a边上的高)；(4)s(可用正弦定理推得)；(5)s2r2sin asin bsin c(r是三角形外接圆的半径)；(6)sr(abc)(r为三角形内切圆的半径)；(7)海伦公式：s，其中p(abc)【做一做31】 在abc中，已知c60，b4，则bc边上的高等于()a. b2 c4 d6【做一做32】 在abc中，a4，b2，c45，则abc的面积s_.答案：【做一做1】 a【做一做2】 b3(1)csin b(2)asin c(3)bsin a(4)bcsin a【做一做31】 d【做一做32】 21三角形中的常用结论剖析：在abc中，边、角之间的关系有以下常用结论：abc，bca，cab.abc，bca，acb.abc.ababsin asin b.abab.a为锐角cos a0a2b2c2；a为钝角cos a0a2b2c2；a为直角cos a0a2b2c2.sin(ab)sin c，cos(ab)cos c.sin cos ，cos sin .2解三角形剖析：解三角形有四种情况，如下表所示：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，b，c)正弦定理由abc180，求角a；由正弦定理求出b与c；sabcacsin b；在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，c)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由abc180求出另一角；sabcabsin c；在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角a，b；再利用abc180，求出角c；sabcabsin c；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，a)正弦定理由正弦定理求出角b；由abc180，求出角c；再利用正弦定理求出第三边c；sabcabsin c；可有一解、两解或无解题型一 求三角形的面积【例题1】 在abc中，根据下列条件，求三角形的面积s.(1)已知a3 cm，c4 cm，b30；(2)已知a75，c45，b4 cm.分析：(1)可根据面积公式sacsin b直接求解；(2)要求三角形的面积，需知道三角形的两边及其夹角反思：求三角形面积，常结合正弦定理、余弦定理，只要求得三角形中的两边及其夹角即可求出面积题型二 证明三角恒等式【例题2】 在abc中，求证：.分析：从左边证右边，化角为边或化边为角题型三 实际应用问题【例题3】 一块四边形土地abcd的形状如图所示，adb60，bdc40，bcd125，ad10 m，ab14 m，求四边形土地的面积(精确到0.01 m2)分析：把四边形abcd分割成abd和bcd，分别求出这两个三角形的面积，其和即为所求反思：实际问题中，在求不规则图形的面积时，常利用割补法，转化为求规则图形的面积如本题分割成三角形题型四 易错辨析【例题4】 已知abc中，a，b，c是角a，b，c的对边，abc的面积为s，若a4，b5，s5，求c的长错解：由sabsin c，得545sin c，解得sin c，则c60.由c2a2b22abcos c，得c2a2b2ab21，故c的长为.错因分析：由sin c求c时，忽视了c的范围，导致漏解答案：【例题1】 解：(1)依题意，由三角形的面积sacsin b，得s34sin 303(cm2)(2)根据正弦定理，得c，则sbcsin ab2.又b180(ac)180(7545)60，故s42(cm2)【例题2】 证法一：化角为边左边右边证法二：化边为角左边右边 .【例题3】 解：在abd中，由余弦定理，得ab2ad2bd22adbdcosadb，设bdx，有142x2102210xcos 60，x210x960，x116，x26(舍去)，即bd16.sabdadbdsinadb1016sin 6069.282(m2)在bcd中，bcd125，bdc40，bd16，cbd180bcdbdc15.由正弦定理，得cd5.055.sbcdbdcdsinbdc165.055sin 4025.996(m2)s四边形abcdsabdsbcd69.28225.99695.28(m2)即这个四边形土地面积约是95.28 m2.【例题4】 正解：由sabsin c，得545sin c，解得sin c，c60或c120.当c60时，c2a2b2ab21；当c120时，c2a2b2ab61.c的长为或.1在abc中，c2，a30，b120，则abc的面积为()a. b. c d32 (2011北京海淀二模)已知abc的面积s，a，则_.3在abc中，若a120，ab5，bc7，则abc的面积s_.4如图所示，一块四边形土地abcd的三边ad40 m，dc30 m，cb30 m，adc150，dcb120，则该土地的面积约为_ m2(精确到0.01 m2)5在abc中，求证：a(sin bsin c)b(sin csin a)c(sin asin b)0.答案：1b2.23.4.909.335证明：由正弦定理，则asin bbsin