江苏省宿迁市高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数周期性课件 苏教版必修4.ppt

函数的周期性 theperiodicityoffunction 由单位圆中的三角函数线可知 正 余弦函数值的变化呈现周期现象 每当角增加 或减少 2 整数倍 所得角终边与原来相同 故两角的正弦 余弦值也分别相同 即 我们称正余弦函数所具有的这种性质称为周期性 问题 如何用数学的语言来刻画函数的周期性 复习回顾 函数周期性的定义 对于函数y f x 如果存在一个不为零的常数t 使得当x取定义域的每一个值时 都满足f x t f x 那么就把函数y f x 叫做周期函数 不为零的常数t叫做这个函数的周期 不为零的常数 sin x sinx 2k 正弦函数和余弦函数均为周期函数 且周期t 2k k z且k 0 x取定义域内的每一个值 cos x cosx 2k k z且k 0 每一个 思考 1 一个函数的周期有多少个 2 周期函数的图象有何特征 周期函数图象的形状随x的变化有规律的重复变化 最小正周期的概念 对于一个周期函数f x 如果它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数叫f x 的最小正周期 sin x sinxcos x cosx 2 2 自变量x只要并且至少增加到x 2 时 函数值才能重复取得 正弦函数和余弦函数的最小正周期是2 最小正周期在图象上的意义 最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离 若钟摆的高度h mm 与时间t s 之间的函数关系如左图所示 1 求该函数的周期 2 求t 11s时钟摆的高度 2 4 10 50 例题讲解1 解 2 设h f t 由函数的周期为2s可知 1 由函数的图像可知该函数的周期为2s f 11 f 1 2x5 f 1 10 答 t 11s时钟摆的高度为10mm 求下列函数的周期 1 y 3cosx 解 因为3cos x 3cosx x只要且至少增加到x 2 2 所以原函数的周期是2 2 y sin x 4 1 解 因为sin x 4 1 sin x 4 1 2 所以原函数的周期是2 例题讲解2 3 求函数y cos2x的周期 解 设f x 周期为t 则f x t f x 即cos2 x t cos2x对任意的实数x都成立 不妨令u 2x 也就是cos u 2t cosu对任意的u都成立 由于y cosu的周期为2 可知cos u 2t cosu对于任意的u都成立的2t的最小正值为2 可知2t 2 即t f x cos2x的最小正周期为 所以原函数的周期是 结论 形如y asin x 或y acos x a 为常数 a 0 x r 的函数的周期为t a 为常数 a 0 x r 课堂练习 求下列函数的周期 直接用结论做 三角函数具有周期性的本质原因 三角函数值的大小是由角的终边在坐标系中的位置决定的 而在角的终边转动时 终边每转过2 都会与原来的终边重合 这样三角函数值就会周而复始地出现 思考 函数f x x2是否为周期函数 如果是 周期是多少 令f x t f x 即 x t 2 x2 即x2 2xt t2 x2 所以2xt t2 0 即t 2x t 0 所以t 0或t 2x 因为t 0或t 2x均不符合函数周期的要求 所以函数f x x2不是周期函数 课堂小结 2 正弦函数y sinx和余弦函数y cosx均为周期函数 且 最小正 周期为2 1 函数周期性的概念 3 形如y asin x 或y acos x a 为常数 a 0 x r 的函数的周期为t 4 函数周期性的用途 课后作业 教材 p27 3 4p