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专题二 解决函数的图象与性质问题 第6题答案图【典题导引】例1. 已知二次函数和函数（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不等的实根，求证：函数在上是单调函数解：（1）为偶函数, ,，即,. . 的定义域为,且 , 函数为奇函数；（2）由，得 ，由，且, 得,即，函数在上是单调函数.例2. 已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数的图象关于原点对称又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.(1) 证明：；(2) 求，的解析式；(3) 求在上的解析式 解：（1）是以为周期的周期函数，又 关于原点对称，, ；(2)当时，由题意可设，由得，；(3)由条件得是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故当时，当时，有，当时，.点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值例3. 已知函数(，常数)(1) 讨论函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数在上为增函数，求的取值范围解：(1) 当时，对任意， 为偶函数当时，取，得，函数既不是奇函数，也不是偶函数(2) (解法1)设，,要使函数在上为增函数，必须恒成立，即恒成立又, . 的取值范围是(解法2)当时，显然在上为增函数当时，反比例函数在上为增函数，在上为增函数当时，同解法1. (解法3)，即a2x3，对恒成立而在上单调递增，最小值为，.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题例4. 已知函数(1)求证：函数在上是增函数；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若函数在上的值域是，求实数的取值范围解：1)当时，.则，在上为增函数(2)在上恒成立，即在上恒成立设，则在上恒成立.又，.在上单调递增，故.的取值范围为；(3) 的定义域为，.当时，由(1)知在上单调递增，故有两个不相等的正根，.解得.当时，可证在上是减函数，即时，得，而，故，代入，得.综上所述，的取值范围为【归类总结】1. 解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性.2. 研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行.3. 研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较.4. 对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种.5. 在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6. 解决不等式恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解构造函数解
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