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文档简介

学案55曲线与方程导学目标: 了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系自主梳理1曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线c(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系:(1)_都是这个方程的_(2)以这个方程的解为坐标的点都是_,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过曲线的方程研究曲线的性质3求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示_;(2)写出适合条件p的点m的集合p_;(3)用坐标表示条件p(m),列出方程f(x,y)0;(4)化方程f(x,y)0为_;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_自我检测1(2011湛江月考)已知动点p在曲线2x2y0上移动,则点a(0,1)与点p连线中点的轨迹方程是()ay2x2 by8x2c2y8x21 d2y8x212一动圆与圆o:x2y21外切,而与圆c:x2y26x80内切,那么动圆的圆心p的轨迹是()a双曲线的一支 b椭圆c抛物线 d圆3(2011佛山模拟)已知直线l的方程是f(x,y)0,点m(x0,y0)不在l上,则方程f(x,y)f(x0,y0)0表示的曲线是()a直线l b与l垂直的一条直线c与l平行的一条直线 d与l平行的两条直线4若m、n为两个定点且|mn|6,动点p满足0,则p点的轨迹是()a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线5(2011江西)若曲线c1:x2y22x0与曲线c2:y(ymxm)0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()a(,) b(,0)(0,)c, d(,)(,)探究点一直接法求轨迹方程例1动点p与两定点a(a,0),b(a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点p的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线变式迁移1已知两点m(2,0)、n(2,0),点p为坐标平面内的动点,满足|0,则动点p(x,y)的轨迹方程为_探究点二定义法求轨迹方程例2(2011包头模拟)已知两个定圆o1和o2,它们的半径分别是1和2,且|o1o2|4.动圆m与圆o1内切,又与圆o2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心m的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线变式迁移2在abc中,a为动点,b、c为定点,b,c,且满足条件sin csin bsin a,则动点a的轨迹方程是()a.1 (y0)b.1 (x0)c.1 (y0)的左支d.1 (y0)的右支探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3如图所示,从双曲线x2y21上一点q引直线xy2的垂线,垂足为n.求线段qn的中点p的轨迹方程变式迁移3已知长为1的线段ab的两个端点a、b分别在x轴、y轴上滑动,p是ab上一点,且.求点p的轨迹c的方程分类讨论思想的应用例(12分)过定点a(a,b)任作互相垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于点m,l2与y轴交于点n,如图所示,求线段mn的中点p的轨迹方程多角度审题要求点p坐标,必须先求m、n两点,这样就要求直线l1、l2,又l1、l2过定点且垂直,只要l1的斜率存在,设一参数k1即可求出p点坐标,再消去k1即得点p轨迹方程【答题模板】解(1)当l1不平行于y轴时,设l1的斜率为k1,则k10.因为l1l2,所以l2的斜率为,l1的方程为ybk1(xa),l2的方程为yb(xa),在中令y0,得m点的横坐标为x1a,4分在中令x0,得n点的纵坐标为y1b,6分设mn中点p的坐标为(x,y),则有消去k1,得2ax2bya2b20 (x)8分(2)当l1平行于y轴时,mn中点为,其坐标满足方程.综合(1)(2)知所求mn中点p的轨迹方程为2ax2bya2b20.12分【突破思维障碍】引进l1的斜率k1作参数,写出l1、l2的直线方程,求出m、n的坐标,求出点p的坐标,得参数方程,消参化为普通方程,本题还要注意直线l1的斜率是否存在【易错点剖析】当amx轴时,am的斜率不存在,此时mn中点为,易错点是把斜率不存在的情况忽略,因而丢掉点.1求轨迹方程的常用方法:(1)直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点,列式,代换,化简,证明五个步骤,但最后的证明可以省略(2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程(3)代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点p(x,y)却随另一动点q(x,y)的运动而有规律的运动,且动点q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x,y表示为x、y的式子,再代入q的轨迹方程,然后整理得p的轨迹方程,代入法也称相关点法(4)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程2本节易错点:(1)容易忽略直线斜率不存在的情况;(2)利用定义求曲线方程时,应考虑是否符合曲线的定义(满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1已知椭圆的焦点是f1、f2,p是椭圆的一个动点,如果m是线段f1p的中点,则动点m的轨迹是()a圆 b椭圆c双曲线的一支 d抛物线2(2011唐山模拟)已知a、b是两个定点,且|ab|3,|cb|ca|2,则点c的轨迹为()a双曲线 b双曲线的一支c椭圆 d线段3长为3的线段ab的端点a、b分别在x轴、y轴上移动,2,则点c的轨迹是()a线段 b圆 c椭圆 d双曲线4(2011银川模拟)如图,圆o:x2y216,a(2,0),b(2,0)为两个定点直线l是圆o的一条切线,若经过a、b两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是()a双曲线 b椭圆c抛物线 d圆5已知f1、f2是椭圆1的两个焦点,平面内一个动点m满足|mf1|mf2|2,则动点m的轨迹是()a双曲线 b双曲线的一个分支c两条射线 d一条射线二、填空题(每小题4分,共12分)6已知两定点a(2,0),b(1,0),如果动点p满足|pa|2|pb|,则点p的轨迹所包围的图形的面积等于_7(2011泰安月考)已知abc的顶点b(0,0),c(5,0),ab边上的中线长|cd|3,则顶点a的轨迹方程为_8平面上有三点a(2,y),b,c(x,y),若,则动点c的轨迹方程为_三、解答题(共38分)9(12分)已知抛物线y24px (p0),o为顶点,a,b为抛物线上的两动点,且满足oaob,如果omab于点m,求点m的轨迹方程10(12分)(2009宁夏,海南)已知椭圆c的中心为平面直角坐标系xoy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆c的方程;(2)若p为椭圆c上的动点,m为过p且垂直于x轴的直线上的一点,求点m的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线11(14分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系xoy中,有一个以f1(0,)和f2(0,)为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线c,动点p在c上,c在点p处的切线与x轴,y轴的交点分别为a,b,且.求:(1)点m的轨迹方程;(2)|的最小值学案55曲线与方程自主梳理1(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点m的坐标(2)m|p(m)(4)最简形式(5)曲线上自我检测1c2.a3.c4.a5bc1:(x1)2y21,c2:y0或ymxmm(x1)当m0时,c2:y0,此时c1与c2显然只有两个交点;当m0时,要满足题意,需圆(x1)2y21与直线ym(x1)有两交点,当圆与直线相切时,m,即直线处于两切线之间时满足题意,则m0或0m.综上知m0或0mb0,表示焦点在x轴上的椭圆;2ab0,表示圆;30a0b,表示焦点在x轴上的双曲线;5a0b,表示焦点在y轴上的双曲线;6a,b0,点p的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去a、b两点)若k0,(*)式可化为1.1当1k0时,点p的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去a、b两点);2当k1时,(*)式即x2y2a2,点p的轨迹是以原点为圆心,|a|为半径的圆(除去a、b两点);3当k1时,点p的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去a、b两点)变式迁移1y28x解析由题意:(4,0),(x2,y),(x2,y),|0,(x2)4y00,移项两边平方,化简得y28x.例2解题导引(1)由于动点m到两定点o1、o2的距离的差为常数,故应考虑是否符合双曲线的定义,是双曲线的一支还是两支,能否确定实轴长和虚轴长等,以便直接写出其方程,而不需再将几何等式借助坐标转化;(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意:“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念,前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围)解如图所示,以o1o2的中点o为原点,o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|o1o2|4,得o1(2,0)、o2(2,0)设动圆m的半径为r,则由动圆m与圆o1内切,有|mo1|r1;由动圆m与圆o2外切,有|mo2|r2.|mo2|mo1|34.点m的轨迹是以o1、o2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支a,c2,b2c2a2.点m的轨迹方程为1 (xb0)连接mo,由三角形的中位线可得|f1m|mo|a (a|f1o|),则m的轨迹为以f1、o为焦点的椭圆2ba、b是两个定点,|cb|ca|24|ab|.根据椭圆的定义知,焦点f的轨迹是一个椭圆5d因为|f1f2|2,|mf1|mf2|2,所以轨迹为一条射线64解析设p(x,y),由题知有:(x2)2y24(x1)2y2,整理得x24xy20,配方得(x2)2y24,可知圆的面积为4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法设a(x,y),y0,则d,|cd| 3.化简得(x10)2y236,a、b、c三点构成三角形,a不能落在x轴上,即y0.方法二定义法如图所示,设a(x,y),d为ab的中点,过a作aecd交x轴于e,则e(10,0)|cd|3,|ae|6,a到e的距离为常数6.a的轨迹为以e为圆心,6为半径的圆,即(x10)2y236.又a、b、c不共线,故a点纵坐标y0.故a点轨迹方程为(x10)2y236 (y0)8y28x解析,.,0,得2x0,得y28x.9解设m(x,y),直线ab斜率存在时,设直线ab的方程为ykxb.由omab得k.设a、b两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由y24px及ykxb消去y,得k2x2x(2kb4p)b20,所以x1x2.消去x,得ky24py4pb0,所以y1y2.(4分)由oaob,得y1y2x1x2,所以,b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入,得x2y24px0 (x0)(10分)ab斜率不存在时,经验证也符合上式故m的轨迹方程为x2y24px0 (x0)(12分)10解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由已知得解得又b2a2c2,b,所以椭圆c的方程为1.(4分)(2)设m(x,y),其中x4,4,由已知2及点p在椭圆c上可得2,整理得(1629)x2

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