【相约期末】高中数学 第一章集合期末知识梳理 新人教A版必修1.doc

第一章 集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合：a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,cb、描述法：区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xr| x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aa （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aau 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：n 正整数集 n*或 n+ 整数集 z 有理数集 q 实数集 r6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）子集定义：如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合a是集合b的子集。记作：（或b）注意：有两种可能（1）a是b的一部分；（2）a与b是同一集合。反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba（2）.“包含”关系（2）真子集如果集合，但存在元素xb且xa，则集合a是集合b的真子集如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba)读作a真含与b（3）“相等”关系：a=b “元素相同则两集合相等”如果ab 同时 ba 那么a=b（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。aa如果 ab, bc ,那么 ac如果ab且bc，那么ac有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集题型1：集合元素的基本特征例1定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为（ ）a0；b2；c3；d6解题思路根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素解析：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择d 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 例2数集与之的关系是（ ）a；b； c；d解题思路可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集与之间必然有关系，如果a成立，则d就成立，这不可能；同样，b也不能成立；而如果d成立，则a、b中必有一个成立，这也不可能，所以只能是c【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。例3(山东高考改编）定义集合运算:,设集合,则集合的所有元素之和为 解析18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为187、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集记作ab（读作a交b），即ab=x|xa，且xb由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集记作：ab（读作a并b），即ab=x|xa，或xb)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：u设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集（或余集）记作，csa=韦恩图示性 质a a=a a =a b=baa baa bba u a=a a u =aa u b=b u a a u ba u bb(cua)(cub)= cu(aub)(cua) u (cub)= cu(ab)au(cua)=ua(cua)=例4 设集合，（1） 若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围若，解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为，（1）由知，从而得，即，解得或当时，满足条件；当时，满足条件所以或（2）对于集合，由因为，所以当，即时，满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，才能满足条件，由根与系数的关系得，矛盾故实数的取值范围是【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练 例5若集合，则是（ ）a. ；b. ；c.；d. 有限集解析 a；由题意知，集合表示函数的值域，故集合；表示函数的值域，故练1已知集合，那么集合为（ ）a.；b.；c.；d.解析d；表示直线与直线的交点组成的集合，a、b、c均不合题意。练2集合,且,求实数的值.解析 ；先化简b得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时.故所求实数的值为.二、函数的概念1 函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：ab为从集合a到集合b的一个函数记作： y=f(x)，xa（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xa 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（1） 解析法：明确函数的定义域（2） 图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3） 列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xa)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合c，叫做函数 y=f(x),(x a)的图象c上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在c上 . (2) 画法a、描点法： b、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。 （3）函数图像平移变换的特点： 1）加左减右只对x 2）上减下加只对y 3）函数y=f(x) 关于x轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)例6 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（nn*）；（4），；（5），解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数的定义域为，而的定义域为r，所以它们不是同一函数.（3）由于当nn*时，2n1为奇数，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，都可视为同一函数.三、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：例7已知二次函数满足，求方法一：换元法令，则，从而所以方法二：配凑法因为所以方法三：待定系数法因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 例8.函数的定义域为( )a.;b.；c. ;d. 解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例9设，则的定义域为（ ）a. ；b. ；c. ；d. 解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。解析由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选b.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域 （先考虑其定义域）（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，若，则若，则，从而得所求值域是（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。例10已知函数，若恒成立，求的值域解题思路应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域解析依题意，恒成立，则，解得，所以，从而，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练 6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数例11 为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析 （）观察图象，当时是直线，故；当时，图象过所以，即，所以（），所以至少需要经过小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。例12 (2006上海)设函数，在区间上画出函数的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 ,如右上图.【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。7映射一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射。记作“f（对应关系）：a（原象）b（象）”对于映射f：ab来说，则应满足：(1)集合a中的每一个元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的；(2)集合a中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数例13 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）a；b；c；d解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文14，9，23，28时，有，解得，解密得到的明文为c【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合a、b及对应法则f是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合a到集合b的对应，它与从集合b到集合a的对应关系一般是不同的；（3）集合a中每一个元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合a中不同元素，在集合b中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象.8、函数的单调性(局部性质)及最值（1）、增减函数1）设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数.区间d称为y=f(x)的单调增区间.2）如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种（2）、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）、函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法：1 任取x1，x2d，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性）(b)图象法(从图象上看升降)(c)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(um),u=g(x)(xa),则 y=fg(x)=f(x)(xa) 称为f、g的复合函数。复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 例14 设,函数.试讨论函数的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。解析: 因为,所以. (1)当x0， 当时，在上恒成立，故f(x)在区间上单调递增； 当时，令，解得， 且当时，；当时， 故f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；(2)当x1时， x-10， 当时，在上恒成立，故f(x)在区间上单调递减； 当时，令，解得，且当时，；当时，故f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；综上得，当k=0时，f(x)在区间上单调递增，f(x)在区间上单调递减；当k0时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间上单调递增；当时，f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.例15. (2008全国卷)已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解析 （1）；（2）（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：9、函数的奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；b、确定f(x)与f(x)的关系；c、作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数； 奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数； b、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .例16.（高州中学模拟）已知函数。 （）若为奇函数，求的值； （）若在上恒大于0，求的取值范围。解析（）；（）的取值范围为（）的定义域关于原点对称若为奇函数，则 （）在上在上单调递增在上恒大于0只要大于0即可,若在上恒大于0，的取值范围为例17. 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析（）因为是奇函数，所以，即又由知（）解法一由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二由（）知又由题设条件得：，即，整理得上式对一切均成立，从而判别式10、函数最值、周期性及性质的应用（1）、函数的最值a 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值b 利用图象求函数的最大（小）值c 利用函数单调性的判断函