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河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第二章 波函数和薛定谔方程第二章习题课1若描述粒子状态的波函数为，式中为实常数，求该粒子的坐标取值概率密度函数。解：先归一化波函数。令，利用归一化条件，得因为，所以取，则归一化后的波函数为所以，粒子的坐标概率密度为取极值的条件为，所以，当时取极大值当时，为当时，为上式表明在无穷远处发现粒子的概率为零，说明该粒子的运动被束缚在一个有限的空间内，即波函数描述的是一个束缚态。2若线性谐振子处于第一激发态求其坐标概率最大的位置。解：可以验证波函数已经归一化。坐标概率密度为令，得，为了确定极大值，需要计算二阶导数，有于是，有 取极小值 取极小值 取极大值所以，坐标概率密度的最大值为3作一维运动的粒子处于状态式中常数。求粒子动量的概率分布函数。解：对波函数进行归一化，有取。动量概率分布函数的一般形式为当时，有所以，动量的取值概率密度为4半壁无限高势阱的位势为求粒子能量在范围内的解。解：势函数把空间分成三个区域，满足的薛定格方程分别为显然，。方程简化为令 则方程进一步简化为方程的通解为下面由波函数的标准条件定解。由于波函数有限，所以，有在处，由波函数的连续性可得取，则在处，由单值性和连续性、可得 得把、代入，得此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。由于正切值为负，所以角度在第二、四象限。上式可以变形为 令 它们在二、四象限的交点就是能量本征值。讨论：（1）若，则。此时与横轴的交点就是所求的解，即 （）这正是一维无限深势阱的结果。（2）束缚态存在的条件。由于当时，所以要求 而此时，所以，有 或 称为势阱强度。上式表明，当势阱强度小于时，不存在束缚态。（3）利用该模型讨论一个真实物理问题。在氘原子核中，质子与中子的相互作用可以简化成类似半壁无限高势垒，差别仅在于能量零点的位置不同，即已知其离化能量为阱宽为，
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