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文档简介
2014高三数学知识点精析精练9:解斜三角形【复习要点】(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形;(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化;(3)能熟练运用三角形基础知识,正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合,通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题,注意隐含条件的挖掘.【例题】【例1】 已知abc的三个内角a、b、c满足a+c=2b.,求cos的值.解法一:由题设条件知b=60,a+c=120.设=,则ac=2,可得a=60+,c=60,依题设条件有整理得4cos2+2cos3=0(m)(2cos)(2cos+3)=0,2cos+30,2cos=0.从而得cos.解法二:由题设条件知b=60,a+c=120,把式化为cosa+cosc=2cosacosc ,利用和差化积及积化和差公式,式可化为 , 将cos=cos60=,cos(a+c)=代入式得:将cos(ac)=2cos2()1代入 :4cos2()+2cos3=0,(*), 【例2】 在海岛a上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站p,上午11时,测得一轮船在岛北30东,俯角为60的b处,到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为30的c处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的d处,问此时船距岛a有多远?解:(1)在rtpab中,apb=60 pa=1,ab= (千米)在rtpac中,apc=30,ac= (千米)在acb中,cab=30+60=90(2)dac=9060=30sindca=sin(180acb)=sinacb=sincda=sin(acb30)=sinacbcos30cosacbsin30.在acd中,据正弦定理得,答:此时船距岛a为千米.【例3】 已知abc的三内角a、b、c满足a+c=2b,设x=cos,f(x)=cosb().(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域;(2)判断其单调性,并加以证明;(3)求这个函数的值域.解:(1)a+c=2b,b=60,a+c=1200|60,x=cos(,1又4x230,x,定义域为(,)(,1.(2)设x1x2,f(x2)f(x1)=,若x1,x2(),则4x1230,4x2230,4x1x2+30,x1x20,f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1),若x1,x2(,1,则4x1230.4x2230,4x1x2+30,x1x20,f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1),f(x)在(,)和(,1上都是减函数.(3)由(2)知,f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域为(,)2,+.【例4】 在中,角所对的边分别为若,求角解:由正弦定理,将已知等式中的边转化为角可得.因为,故有, .又 , ,即,由,可解得【例5】 在abc中,已知.(1)若任意交换的位置,的值是否会发生变化?试证明你的结论;(2)求的最大值.解:(1) , 任意交换的位置,的值不会发生变化(2)解法1:将看作是关于的二次函数.所以,当,且取到最大值1时,也即时,取得最大值解法2:用调整的方法, 也即对于每个固定的的值,去调整,求出取得最大值时所满足的条件对于,如果固定,则可将看作是关于的一次或常数函数为了讨论其最大值,显然应该考虑的符号,并由此展开讨论若,则,所以,所以,所以,只需考虑的情形此时是关于的常数函数或单调递增的一次函数,因此,最大值必可在(即)时取得所以,等号当且仅当时取得【解斜三角形练习】一、选择题1.给出四个命题:(1)若sin2a=sin2b,则abc为等腰三角形;(2)若sina=cosb,则abc为直角三角形;(3)若sin2a+sin2b+sin2c2,则abc为钝角三角形;(4)若cos(ab)cos(bc)cos(ca)=1,则abc为正三角形.以上正确命题的个数是( )a.1 b.2 c.3 d.4二、填空题2.在abc中,已知a、b、c成等差数列,则的值为_.3.在abc中,a为最小角,c为最大角,已知cos(2a+c)=,sinb=,则cos2(b+c)=_.三、解答题4.已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab=2,bc=6,cd=da=4,求四边形abcd的面积.5.如右图,在半径为r的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比,角和这一点到光源的距离 r的平方成反比,即i=k,其中 k是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选择电灯悬挂的高度h,才能使桌子边缘处最亮?6.在abc中,a、b、c分别为角a、b、c的对边,.(1)求角a的度数;(2)若a=,b+c=3,求b和c的值.7.在abc中,a、b、c所对的边分别为a、b、c,且a、b、3c成等比数列,又ac=,试求a、b、c的值.8.在正三角形abc的边ab、ac上分别取d、e两点,使沿线段de折叠三角形时,顶点a正好落在边bc上,在这种情况下,若要使ad最小,求adab的值.参考答案一、1.解析:其中(3)(4)正确.答案: b二、2.解析:a+b+c=,a+c=2b,答案:3.解析:a为最小角2a+c=a+a+ca+b+c=180.cos(2a+c)=,sin(2a+c)=.c为最大角,b为锐角,又sinb=.故cosb=.即sin(a+c)=,cos(a+c)=.cos(b+c)=cosa=cos(2a+c)(a+c)=,cos2(b+c)=2cos2(b+c)1=.答案:三、4.解:如图:连结bd,则有四边形abcd的面积:s=sabd+scdb=abadsina+bccdsinca+c=180,sina=sinc故s=(abad+bccd)sina=(24+64)sina=16sina由余弦定理,在abd中,bd2=ab2+ad22abadcosa=2016cosa在cdb中,bd2=cb2+cd22cbcdcosc=5248cosc2016cosa=5248cosc,cosc=cosa,64cosa=32,cosa=,又0a180,a=120故s=16sin120=8.5.解:r=rcos,由此得:,7.解:由a、b、3c成等比数列,得:b2=3acsin2b=3sincsina=3()cos(a+c)cos(ac)b=(a+c).sin2(a+c)=cos(a+c)cos即1cos2(a+c)=cos(a+c),解得cos(a+c)=.0a+c,a+c=.又ac=a=,b=,c=. 8.解:按题意,设折叠后a点落在边bc上改称p点,显然a、p两点关于折线de对称,又设ba
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