高考数学 核心考点大冲关 专题演练10 导数的应用（单调性、最值、极值）题库精选 新人教A版.doc

考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）【考点分类】热点一 利用导数研究函数的单调性1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）dcba 2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）a b c d3.（2012年高考（辽宁文）函数y=x2x的单调递减区间为（）a(1,1b(0,1c1,+)d(0,+)【答案】b 4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设函数(其中). () 当时,求函数的单调区间；() 当时,求函数在上的最大值.5.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设函数，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.当，即时，又，且函数在的图象不间断，在上存在零点.又当时，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.6.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】已知函数()设是的极值点，求，并讨论的单调性；（）当时，证明.故=，综上，当m2时，.7.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知函数（i）当时，讨论的单调性；（ii）若时，求的取值范围.8.【2013年普通高等学校统一考试(天津卷)理科】 已知函数. () 求函数f(x)的单调区间; () 证明: 对任意的t0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.【答案】() 函数f(x)的定义域为，9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】已知函数.（）求的单调区间；（）证明：当f（x1）=f（x2）(x1x2)时，x1+x20.则有01-0+1减极小值增1所以. 当时,. 故. 11.（2012年高考（新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.【方法总结】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性热点二 利用导数研究函数的最值极值12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数的定义域为r，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）a b.是的极小值点 c. 是的极小值点 d.是的极小值点 答案d13.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）（a）, f()=0（b）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（c）若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-, ）单调递减（d）若是f（x）的极值点，则 ()=014.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】设函数（ ）（a）有极大值，无极小值 （b）有极小值，无极大值 （c）既有极大值又有极小值 （d）既无极大值也无极小值15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）a. 当时，在处取得极小值 b. 当时，在处取得极大值 c. 当时，在处取得极小值 d. 当时，在处取得极大值 16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）a， b，c， d，17.（2012年高考（陕西理）设函数,则（）a为的极大值点b为的极小值点 c为的极大值点d为的极小值点【答案】d【解析】,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选d.18.（2012年高考（重庆理）设函数在r上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）a函数有极大值和极小值 b函数有极大值和极小值 c函数有极大值和极小值 d函数有极大值和极小值19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】 设函数，其中，区间.（）求的长度（注：区间的长度定义为；（）给定常数，当时，求长度的最小值.22.（2012年高考（广东文）设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 23.（2012年高考（湖南理）已知函数=,其中a0.(1)若对一切xr,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线ab的斜率为k,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.令则 . 【方法总结】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.热点三 利用导数研究综合问题24.【2013年全国高考新课标（i）文科】已知函数，若，则的取值范围是（ ）（a） （b） (c) (d) 25.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数.（）若时，求的最小值；（）设数列的通项，证明：.【答案】（）由已知，.若，则当时，所以.26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理】设是正整数，为正有理数. （）求函数的最小值；（）证明：；（）设，记为不小于的最小整数，例如，.令，求的值. （参考数据：，） （）在中，令，分别取值81，82，83，125，得， . 27.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】（i）证明：当 （ii）若不等式取值范围.28.【2013年全国高考新课标（i）理科】已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点p(0，2)，且在点p处有相同的切线y4x+2.（）求a，b，c，d的值（）若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围.【答案】（1）因为曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点p(0，2)，所以b=d=2；因为，故；，故，故；所以，；（2）令，则，由题设可得，故，令得，（1）若，则，从而当时，当时，即在上最小值为，此时f(x)kg(x)恒成立；（2）若，故在上单调递增，因为所以f(x)kg(x)恒成立（3）若，则，故f(x)kg(x)不恒成立；综上所述k的取值范围为.29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知函数（i）求证： （ii）若取值范围.此时综上：.30.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】设，已知函数.（）当时，讨论函数的单调性；（）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为g. 称为、的调和平均数，记为h. 若，求的取值范围. 31.（2012年高考（天津文）已知函数(i)求函数的单调区间; (ii)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(iii)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.【解析】() 或， 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为32.（2012年高考（陕西文）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设n为偶数,求b+3c的最小值和最大值;(3)设,若对任意,有,求的取值范围; 综上可知， 注：（）（）也可合并并证明如下： 用，当， 【方法总结】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对任意xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明h(x)在a，b上的最小值为0即可解题技巧总结如下：（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【考点剖析】一明确要求1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)4.会利用导数解决某些实际问题.二命题方向1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.三规律总结两个注意(1)注意函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件【考点模拟】一扎实基础1. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】设函数在定义域内的导函数为，若的图象如图1所示，则的图象可能为（ ）3. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知常数、都是实数，的导函数为，的解集为，若的极小值等于，则的值是( )（a）（b）（c）（d）4. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】当时，函数的图像大致是( )5. 【安徽省淮南一中、颍上一中、怀远一中、蒙城一中四校2013届高三5月联考】函数在r上可导，且导函数满足则的解集为（ ）a. b. c. d. 6. 【安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测】已知函数，则下列结论正确的是( )（a）在上恰有一个零点（b）在上恰有两个零点（c）在上恰有一个零点（d）在上恰有两个零点7. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知在处取最大值，以下各式正确的序号为（ ）abcd8. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知函数=有零点，则的取值范围是 .9. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估20122013学年第一学期统一检测题】函数在区间上最大值为 .10. .【2013年浙江省第二次五校联考】设函数（为实数），在区间和上单调递增，则实数的取值范围为_二能力拔高11. .【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】设函数的导函数为，对任意r都有成立，则（ ）（a） （b）（c） （d）的大小不确定【答案】c 12. 【北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，则，的大小关系是( )（a） （b） （c） （d）13. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】已知函数,则下列说法不正确的是（ ）（a）当时，函数有零点（b）若函数有零点，则（c）存在，函数有唯一的零点（d）若函数有唯一的零点，则14. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】设d是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间d上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数a的取值范围是（ ）a b c d【答案】d15. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】（本小题满分12分）已知（）求的单调递增区间；（）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围 16. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】已知函数（）若在（0，）单调递减，求a的最小值； （）若f(x)有两个极值点，求a的取值范围.7分17. 【广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试】 已知函数f（x）=x|xa|lnx，ar. （）若a=1，求函数f（x）在区间1，e上的最大值； （）若f（x）0恒成立，求a的取值范围. 18. 【2013年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试】已知函数.（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当时，试比较与的大小. 19. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】 (本题满分14分) 设函数，（）讨论函数的单调性； （）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围 （）当时，恒成立等价于恒成立， 11分记，所以， .20. 【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】(理科)（本小题满分13分）已知函数， 令. ()当时，求的极值；() 当时，求的单调区间；()当时，若存在，使得成立，求的取值范围.解：（）依题意， 单调递增区间是；当时，的单调递减区间是；三提升自我21. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】定义在r上的函数的导函数为，已知是偶函数. 若，且，则与的大小关系是( )a b c d不确定【答案】c 【解析】由可知，当时，函数递减.当时，函数递增.因为函数是偶函数，所以，即函数的对称轴为.所以若，则.若，则必有，则，此时由，即