高考数学 名师指导提能专训16 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题 理(1).doc

提能专训(十六)圆锥曲线中的定点、定值与最值问题一、选择题1(2013东北三校4月模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()a|fp1|fp2|fp3|b|fp1|2|fp2|2|fp3|2c2|fp2|fp1|fp3|d|fp2|2|fp1|fp3|c解题思路：抛物线的准线方程为x，由定义得|fp1|x1，|fp2|x2，|fp3|x3，则|fp1|fp3|x1x3x1x3p,2|fp2|2x2p，由2x2x1x3，得2|fp2|fp1|fp3|.故选c.2与抛物线y28x相切且倾斜角为135的直线l与x轴和y轴的交点分别是a和b，那么过a，b两点的最小圆截抛物线y28x的准线所得的弦长为()a4b2c2d.c命题立意：本题考查直线与抛物线及圆的位置关系的应用，难度中等解题思路：设直线l的方程为yxb，联立直线与抛物线方程，消元得y28y8b0，因为直线与抛物线相切，故824(8b)0，解得b2，故直线l的方程为xy20，从而a(2,0)，b(0，2)，因此过a，b两点的最小圆即为以ab为直径的圆，其方程为(x1)2(y1)22，而抛物线y28x的准线方程为x2，此时圆心(1，1)到准线的距离为1，故所截弦长为22.故选c.3(郑州一次质量预测)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a，b，交其准线于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为()ay29xby26xcy23xdy2xc命题立意：本题考查抛物线定义的应用及抛物线方程的求解，难度中等解题思路：如图所示，分别过点a，b作抛物线准线的垂线，垂足分别为e，d，由抛物线定义可知|ae|af|3，|bc|2|bf|2|bd|，在rtbdc中，可知bcd30，故在rtace中可得|ac|2|ae|6，故|cf|3，则gf即为ace的中位线，故|gf|p，因此抛物线方程为y22px3x.故选c.4焦点在x轴上的双曲线c的左焦点为f，右顶点为a，若线段fa的中垂线与双曲线c有公共点，则双曲线c的离心率的取值范围是()a(1,3) b(1,3c(3，) d3，)d命题立意：本题主要考查双曲线的离心率问题，考查考生的化归与转化能力解题思路：设af的中点c(xc,0)，由题意xca，即a，解得e3.故选d.5过点(，0)引直线l与曲线y相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于()a. b c db命题透析：本题考查直线与圆的位置关系以及数形结合的数学思想思路点拨：由y，得x2y21(y0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的上半圆，如图所示故saob|oa|ob|sin aobsin aob，所以当sin aob1，即oaob时，saob取得最大值，此时o到直线l的距离d|oa|sin 45.设此时直线l的方程为yk(x)，即kxyk0，则有，解得k，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k.故选b.6(2013广东外国语学校质检)点p在直线l：yx1上，若存在过p的直线交抛物线yx2于a，b两点，且|pa|ab|，则称点p为“正点”，那么下列结论中正确的是()a直线l上的所有点都是“正点”b直线l上仅有有限个点是“正点”c直线l上的所有点都不是“正点”d直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“正点”a解题思路：本题考查直线与抛物线的定义设a(m，n)，p(x，x1)，则b(2mx,2nx1)， a，b在yx2上， nm2,2nx1(2mx)2，消去n整理得关于x的方程x2(4m1)x2m210， 8m28m50恒成立， 方程恒有实数解故选a.二、填空题7设a，b为双曲线1(ba0)上两点，o为坐标原点若oaob，则aob面积的最小值为_解题思路：设直线oa的方程为ykx，则直线ob的方程为yx，则点a(x1，y1)满足故x，y， |oa|2xy；同理|ob|2.故|oa|2|ob|2. (当且仅当k1时，取等号)， |oa|2|ob|2，又ba0，故saob|oa|ob|的最小值为.8已知直线yx与双曲线1交于a，b两点，p为双曲线上不同于a，b的点，当直线pa，pb的斜率kpa，kpb存在时，kpakpb_.解题思路：设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则由得y2，y1y20，y1y2，则x1x20，x1x24.所以kpakpb.9设平面区域d是由双曲线y21的两条渐近线和抛物线y28x的准线所围成的三角形(含边界与内部)若点(x，y)d，则目标函数zxy的最大值为_3解题思路：本题考查双曲线、抛物线的性质以及线性规划双曲线y21的两条渐近线为yx，抛物线y28x的准线为x2，当直线yxz过点a(2,1)时，zmax3.三、解答题10(2013山西大学附中月考)已知抛物线y24x，过点m(0,2)的直线与抛物线交于a，b两点，且直线与x轴交于点c.(1)求证：|ma|，|mc|，|mb|成等比数列；(2)设，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由解析：(1)证明：设直线的方程为：ykx2(k0)，联立方程得k2x2(4k4)x40，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c，则x1x2，x1x2，|ma|mb|x10|x20|，而|mc|22， |mc|2|ma|mb|0，即|ma|，|mc|，|mb|成等比数列(2)由，得(x1，y12)，(x2，y22)，即得，则，将(1)中代入得1，故为定值，且定值为1.11(2013山东威海模拟)如图，在平面直角坐标系xoy中，设点f(0，p)(p0)，直线l：yp，点p在直线l上移动，r是线段pf与x轴的交点，过r，p分别作直线l1，l2，使l1pf，l2l，l1l2q.(1)求动点q的轨迹c的方程；(2)在直线l上任取一点m作曲线c的两条切线，设切点为a，b，求证：直线ab恒过一定点；(3)根据(2)的结论，求证：当直线ma，mf，mb的斜率存在时，直线ma，mf，mb的斜率的倒数成等差数列解题指导：本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程；(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程，进一步求出直线恒过的定点；(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率，从而化简证明即可解析：(1)依题意知，点r是线段pf的中点，且rqfp， rq是线段fp的垂直平分线 |qp|qf|.故动点q的轨迹c是以f为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x24py(p0)(2)证明：设m(m，p)，两切点为a(x1，y1)，b(x2，y2)由x24py得yx2，求导得yx. 两条切线方程为yy1x1(xx1)，yy2x2(xx2)，对于方程，代入点m(m，p)，得py1x1(mx1)，又y1x pxx1(mx1)，整理，得x2mx14p20同理对方程有x2mx24p20，即x1，x2为方程x22mx4p20的两根 x1x22m，x1x24p2.设直线ab的斜率为k，k(x1x2)，所以直线的方程为y(x1x2)(xx1)，展开得y(x1x2)x，将代入得yxp. 直线恒过定点(0，p)(3)证明：由(2)的结论，设m(m，p)，a(x1，y1)，b(x2，y2)且有x1x22m，x1x24p2， kma，kmb. .又 ，所以.即直线ma，mf，mb的斜率的倒数成等差数列规律总结：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，近几年高考题中经常出现以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，综合考查运用圆锥曲线的有关知识分析问题、解决问题的能力12(2013广东六校联考)已知点f(0,1)，直线l：y1，p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为点q，且.(1)求动点p的轨迹c的方程；(2)已知圆m过定点d(0,2)，圆心m在轨迹c上运动，且圆m与x轴交于a，b两点，设|da|l1，|db|l2，求的最大值解题指导：本题考查轨迹的求法、向量的运算、基本不等式的运用(1)利用直接法及数量积的坐标运算即可得到动点的轨迹方程；(2)先设出圆的方程，求出点a，b坐标，然后利用基本不等式求出所给式子的最大值解析：(1)设p(x，y)，则q(x，1)， ， (0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)即2(y1)x22(y1)，即x24y，所以动点p的轨迹c的方程为x24y.(2)设圆m的圆心坐标为m(a，b)，则a24b.圆m的半径为|md|.圆m的方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2.令y0，则(xa)2b2a2(b2)2，整理，得x22ax4b40.由解得xa2.不妨设a(a2,0)，b(a2,0)， l1，l2. 22，当a0时，由得222.当且仅当a2时，等号成立当a0时，由得2.故当a2时，的最大值为2.规律总结：本题立足基础概括了解析几何的大部分内容，并融入了向量的知识通过解析几何自身的特点，结合相应的数学知识综合考查解决此类问题要熟练运用解析几何的经典思维，化繁为简，逐步解决13(2013山东淄博二模)已知抛物线y24x的焦点为f2，点f1与f2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴(垂足为t)，与抛物线交于不同的两点p，q，且5.(1)求点t的横坐标x0.(2)若以f1，f2为焦点的椭圆c过点.求椭圆c的标准方程 ；过点f2作直线l与椭圆c交于a，b两点，设，若2，1，求|的取值范围解析：(1)由题意得f2(1,0)，f1(1,0)，设p(x0，y0)，q(x0，y0)，则(x01，y0)，(x01，y0)由5，得x1y5，即xy4，又p(x0，y0)在抛物线上，则y4x0，联立易得，x02.(2)设椭圆的半焦距为c，由题意得c1，设椭圆c的标准方程为1(ab0)，则1，a2b21.将代入，解得b21或b2(舍去)，所以a2b212.故椭圆c的标准方程为y21.方法一：容易验证直线l的斜率不为0，设直线l的方程为xky1，将直线l的方程代入y21中，得(k22)y22ky10.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，y10且y20，则由根与系数的关系，可得y1y2，y1y2.因为，所以，且0.将式平方除以式，得22，由2，12200，所以0k2.因为(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x1x24，y1y2)，又y1y2，所以x1x24k(y1y2)2.故|2(x1x24)2(y1y2)216，令t，因为0k2，所以，即t，所以|2f(t)8t228t1682.而t，所以f(t).所以|.方法二：当直线l斜率不存在时，即1时，a，b，又t(2,0)，所以|2.当直线l的斜率存在时，即2，1)时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(12k2)x