全国各地中考数学分类解析 专题43 平行四边形.doc

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题43：平行四边形一、选择题1. （2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【 】 a平行四边形b矩形c菱形d梯形【答案】 a。【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接ac，四边形abcd各边中点是e、f、g、h，hgac，hg=ac，efac，ef=ac。ef=gh，efgh。四边形efgh是平行四边形。由于四边形efgh是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以ac=bd或acbd不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。故选a。 2. （2012浙江杭州3分）已知平行四边形abcd中，b=4a，则c=【 】a18b36c72d144【答案】b。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质。【分析】由平行四边形性质求出c=a，bcad，推出a+b=180，求出a的度数，即可求出c：四边形abcd是平行四边形，c=a，bcad。a+b=180。b=4a，a=36。c=a=36。故选b。3. （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形abcd中，过点a作ae垂直于直线bc于点e，作af垂直于直线cd于点f，若ab5，bc6，则cecf的值为【 】a11 b11c11或11 d11或1【答案】c。【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。【分析】依题意，有如图的两种情况。设be=x，df=y。 如图1，由ab5，be=x，得。 由平行四边形abcd的面积为15，bc6，得， 解得（负数舍去）。 由bc6，df=y，得。由平行四边形abcd的面积为15，ab5，得， 解得（负数舍去）。 cecf=（6）（5）=11。 如图2，同理可得be= ，df=。 cecf=（6）（5）=11。 故选c。4. （2012湖南益阳4分）如图，点a是直线l外一点，在l上取两点b、c，分别以a、c为圆心，bc、ab长为半径画弧，两弧交于点d，分别连接ab、ad、cd，则四边形abcd一定是【 】a平行四边形b矩形c菱形d梯形【答案】a。【考点】作图（复杂作图），平行四边形的判定。【分析】别以a、c为圆心，bc、ab长为半径画弧，两弧交于点d，ad=bc，ab=cd。四边形abcd是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。故选a。5. （2012四川广元3分） 若以a（-0.5，0），b（2，0），c（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【 】a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限【答案】c。【考点】平行四边形的判定，坐标与图形性质。【分析】根据题意画出图形，如图所示：分三种情况考虑：以cb为对角线作平行四边形abd1c，此时第四个顶点d1落在第一象限；以ac为对角线作平行四边形abcd2，此时第四个顶点d2落在第二象限；以ab为对角线作平行四边形acbd3，此时第四个顶点d3落在第四象限。则第四个顶点不可能落在第三象限。故选c。6. （2012四川德阳3分） 如图，点d是abc的边ab的延长线上一点，点f是边bc上的一个动点（不与点b重合）.以bd、bf为邻边作平行四边形bdef，又apbe（点p、e在直线ab的同侧），如果，那么pbc的面积与abc面积之比为【 】a. b. c. d.【答案】d。【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】过点p作phbc交ab于h，连接ch，pf，pe。apbe，四边形apeb是平行四边形。peab。，四边形bdef是平行四边形，efbd。efab。p，e，f共线。设bd=a，pe=ab=4a。pf=peef=3a。phbc，shbc=spbc。pfab，四边形bfph是平行四边形。bh=pf=3a。shbc：sabc=bh：ab=3a：4a=3：4，spbc：sabc=3：4。故选d。7. （2012四川巴中3分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【 】a. 两组对边分别平行 b. 一组对边平行，另一组对边相等c. 一组对边平行且相等 d. 两组对边分别相等【答案】b。【考点】平行四边形的判定【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 a、d、c均符合是平行四边形的条件，b则不能判定是平行四边形。故选b。8. （2012四川自贡3分）如图，在平行四边形abcd中，ad=5，ab=3，ae平分bad交bc边于点e，则线段be，ec的长度分别为【 】a2和3b3和2c4和1d1和4【答案】b。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】ae平分bad，bae=dae。四边形abcd是平行四边形，adbc。dae=aeb。bae=bea。ab=be=3。ec=adbe=2。故选b。9. （2012辽宁阜新3分）如图，四边形abcd是平行四边形，be平分abc，cf平分bcd，be、cf交于点g若使，那么平行四边形abcd应满足的条件是【 】aabc=60 bab：bc=1：4 cab：bc=5：2 dab：bc=5：8【答案】d。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】四边形abcd是平行四边形，adbc，ab=cd，ad=bc。aeb=ebc。又be平分abc，abe=ebc。abe=aeb。ab=ae。同理可得：dc=df。ae=df。aeef=deef，即af=de。当时，设ef=x，则ad=bc=4x。af=de=（adef）=1.5x。ae=ab=af+ef=2.5x。ab：bc=2.5：4=5：8。以上各步可逆，当ab：bc=2.5：4=5：8时，。故选d。10. （2012山东聊城3分）如图，四边形abcd是平行四边形，点e在边bc上，如果点f是边ad上的点，那么cdf与abe不一定全等的条件是【 】adf=bebaf=ceccf=aedcfae【答案】c。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：a、当df=be时，由平行四边形的性质可得：ab=cd，b=d，利用sas可判定cdfabe；b、当af=ce时，由平行四边形的性质可得：be=df，ab=cd，b=d，利用sas可判定cdfabe；c、当cf=ae时，由平行四边形的性质可得：ab=cd，b=d，利用ssa不能可判定cdfabe；d、当cfae时，由平行四边形的性质可得：ab=cd，b=d，aeb=cfd，利用aas可判定cdfabe。故选c。11. （2012山东泰安3分）如图，在平行四边形abcd中，过点c的直线ceab，垂足为e，若ead=53，则bce的度数为【 】a53b37c47d123【答案】b。【考点】平行四边形的性质，对项角的性质，平行的性质。【分析】设ce与ad相交于点f。在平行四边形abcd中，过点c的直线ceab，e=90，ead=53，efa=9053=37。dfc=37四边形abcd是平行四边形， adbc。bce=dfc=37。故选b。12. （2012广西南宁3分）如图，在平行四边形abcd中，ab=3cm，bc=5cm，对角线ac，bd相交于点o，则oa的取值范围是【 】a2cmoa5cm b2cmoa8cm c1cmoa4cm d3cmoa8cm 【答案】c。【考点】平行四边形的性质，三角形三边关系。【分析】平行四边形abcd中，ab=3cm，bc=5cm，oa=oc=ac（平行四边形对角线互相平分），bcabacbcab（三角形三边关系），即2cmac8cm。1cmoa4cm。故选c。13. （2012内蒙古包头3分）如图，过口abcd的对角线bd 上一点m 分别作平行四边形两边的平行线ef与gh ，那么图中的口aemg的面积s1 与口hcfg的面积s2的大小关系是【 】a .s1 s2 b.s1 s2 c .s1 = s2 d.2s1 = s2 【答案】c。【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】易知，四边形bhme和mfdg都是平行四边形。 平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形，。，即s1 = s2。故选c。14. （2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形abcd中，e是cd上的一点，de：ec=2：3，连接ae、be、bd，且ae、bd交于点f，则sdef：sebf：sabf=【 】a2：5：25 b4：9：25 c2： 3：5 d4：10：25【答案】d。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由de：ec=2：3得de：dc=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得de：ab=2：5由平行四边形对边平行的性质易得dfebfadf：fb= de：ab=2：5，sdef：sabf=4：25。又sdef和sebf是等高三角形，且df：fb =2：5，sdef：sebf =2：5=4：10。sdef：sebf：sabf =4：10：25。故选d。二、填空题1. （2012广东汕头4分）如图，在abcd中，ad=2，ab=4，a=30，以点a为圆心，ad的长为半径画弧交ab于点e，连接ce，则阴影部分的面积是 （结果保留）【答案】。【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算【分析】过d点作dfab于点f。 ad=2，ab=4，a=30，df=adsin30=1，eb=abae=2。阴影部分的面积=平行四边形abcd的面积扇形ade面积三角形cbe的面积=。2. （2012浙江衢州4分）如图，平行四边形abcd中，e是cd的延长线上一点，be与ad交于点f，cd=2de若def的面积为a，则平行四边形abcd的面积为 （用a的代数式表示）【答案】12a。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形abcd是平行四边形，abcd，adbc，ab=cd，defceb，defabf。sdef ：sce b=（de：ce）2，sdef ：sabf=（de：ab）2，cd=2de，de：ce=1：3，de：ab=1：2，sdef=a，scbe=9a，sabf=4a，s四边形bcdf=scebsdef=8a。sabcd=s四边形bcdf+sabf=8a+4a=12a。3. （2012江苏南京2分）如图，在平行四边形abcd中，ad=10cm，cd=6cm，e为ad上一点，且be=bc，ce=cd，则de= cm【答案】2.5。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形abcd是平行四边形，ad=10cm，cd=5cm，bc=ad=10cm，adbc，2=3。be=bc，ce=cd，be=bc=10cm，ce=cd=5cm，1=2，3=d。1=2=3=d。bcecde。，即，解得de=2.5cm。4. （2012江苏镇江2分）如图，e是平行四边形abcd的边cd上一点，连接ae并延长交bc的延长线于点f，且ad=4，则cf的长为 。【答案】2。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。【分析】四边形abcd是平行四边形，abdc，bc=ad=4。 cefabf。 又，bf=bc+cf=4+ cf，解得cf=2。5. （2012湖北鄂州3分）如图，abcd 中，aebc于e，afcd于f，若ae=4，af=6，sinbae=,则cf= .【答案】。【考点】平行四边形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】由aebc和sinbae=，得。可设be=k，则ab=3k。 ae=4，根据勾股定理得，即，解得（负值已舍去）。 be=， ab=3。 四边形abcd是平行四边形，dc=ab=3，d=b。 又aebc，afcd，afd=aeb=900。afdaeb。 又af=6，解得。cf=dcdf= 。6. （2012湖南永州3分）如图，平行四边形abcd的对角线相交于点o，且abad，过o作oebd交bc于点e若cde的周长为10，则平行四边形abcd的周长为 【答案】20。【考点】平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质。144482【分析】四边形abcd是平行四边形，ob=od，ab=cd，ad=bc（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。oebd，be=de（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。cde的周长为10，即cd+de+ec=10，平行四边形abcd的周长为：ab+bc+cd+ad=2（bc+cd）=2（be+ec+cd）=2（de+ec+cd）=210=20。7. （2012湖南怀化3分）如图，在abcd中，ad=8，点e、f分别是bd、cd的中点，则ef= .【答案】4。【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理。【分析】四边形abcd是平行四边形，bc=ad=8。点e、f分别是bd、cd的中点，ef=bc=8=4。8. （2012湖南湘潭3分）如图，在abcd中，点e在dc上，若ec：ab=2：3，ef=4，则bf= 【答案】6。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形abcd是平行四边形，abcd。cab=acd，abe=bec。abfcef。，又ec：ab=2：3， ef=4，解得bf=6。9. （2012四川成都4分）如图，将abcd的一边bc延长至e，若a=110，则1= 【答案】70。【考点】平行四边形的性质，平角的性质。【分析】平行四边形abcd的a=110，bcd=a=110。1=180bcd=180110=70。10. （2012辽宁本溪3分）如图，在abcd中，abc的平分线be交ad边于点e，交对角线ac于点f，若，则 。【答案】。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】四边形abcd是平行四边形，adbc，ebc=aeb。be是abc的角平分线，ebc=aeb=abe，ab=ae。，。adbc，afecfb。11. （2012贵州黔西南3分）如图，在abc中，acb90，d是bc的中点，debc，ce/ad，若ac2，ce4，则四边形aceb的周长为 。12. （2012山东烟台3分）abcd中，已知点a（1，0），b（2，0），d（0，1）则点c的坐标为 【答案】（3，1）。【考点】平行四边形的性质，坐标与图形性质。【分析】画出图形，根据平行四边形性质求出dcab，dc=ab=3，根据d的纵坐标和cd=3即可求出答案：平行四边形abcd中，已知点a（1，0），b（2，0），d（0，1），ab=cd=2（1）=3，dcab。c的横坐标是3，纵坐标和d的纵坐标相等，是1。c的坐标是（3，1）。13. （2012吉林长春3分）如图，abcd的顶点b在矩形aefc的边ef上，点b与点e、f不重合若acd的面积为3，则图中的阴影部分两个三角形的面积和为 .【答案】3。【考点】平行四边形和矩形的性质。【分析】四边形abcd是平行四边形，acd的面积=acb的面积。又acd的面积为3，acb的面积为3。 acb的面积矩形aefc的面积的一半， 阴影部分两个三角形的面积和=acb的面积=3。14. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，在平行四边形abcd中，点e、f分别在边bc、ad上，请添加一个条件 使四边形aecf是平行四边形（只填一个即可）。【答案】af=ce（答案不唯一）。【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】根据平行四边形性质得出adbc，af=ce，得出afce。根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加af=ce或fd=eb。根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加aefc。添加aec=fca或dae=dfc等得到aefc，也可使四边形aecf是平行四边形。三、解答题1. （2012北京市5分）已知：如图，点e，a，c在同一条直线上，abcd，ab=ce，ac=cd求证：bc=ed.【答案】证明：abcd，bac=ecd，在bac和ecd中，ab=ec，bac=ecd ，ac=cd，bacecd（sas）。cb=ed。【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】首先由abcd，根据平行线的性质可得bac=ecd，再由条件ab=ce，ac=cd可证出bac和ecd全等，再根据全等三角形对应边相等证出cb=ed。2. （2012陕西省6分）如图，在abcd中，abc的平分线bf分别与ac、ad交于点e、f（1）求证：ab=af；（2）当ab=3，bc=5时，求的值【答案】解：（1）证明：如图，在abcd中，adbc， 2=3。 bf是abc的平分线，1=2。1=3。ab=af。 （2），aefceb。 ， 。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由在abcd中，adbc，利用平行线的性质，可求得2=3，又由bf是abc的平分线，易证得1=3，利用等角对等边的知识，即可证得ab=af。（2）易证得aefceb，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值。3. （2012广东省6分）已知：如图，在四边形abcd中，abcd，对角线ac、bd相交于点o，bo=do求证：四边形abcd是平行四边形【答案】证明：abcd，abo=cdo，在abo与cdo中，abo=cdo，bo=do，aob=cod，abocdo（asa）。ab=cd。四边形abcd是平行四边形。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】根据abcd可知abo=cdo，再由bo=do，aob=cod，即可根据asa得出abocdo，故可得出ab=cd，从而根据一组对边平行且相等的四边是平行四边形的判定得出结论。4. （2012广东湛江8分）如图，在平行四边形abcd中，e、f分别在ad、bc边上，且ae=cf求证：（1）abecdf； （2）四边形bfde是平行四边形【答案】证明：（1）四边形abcd是平行四边形，a=c，ab=cd，在abe和cdf中，ab=cd，a=c，ae=cf，abecdf（sas）。（2）四边形abcd是平行四边形，adbc，ad=bc。ae=cf，adae=bccf，即de=bf。四边形bfde是平行四边形。【考点】平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定。【分析】（1）由四边形abcd是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得a=c，ab=cd，又由ae=cf，利用sas，即可判定abecdf。（2）由四边形abcd是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得adbc，ad=bc，又由ae=cf，即可证得de=bf。根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形bfde是平行四边形。5. （2012浙江湖州8分）已知：如图，在abcd中，点f在ab的延长线上，且bf=ab，连接fd，交bc于点e（1）说明dcefbe的理由；（2）若ec=3，求ad的长 【答案】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，ab=dc，abdc。cde=f。又bf=ab，dc=fb。在dce和fbe中， cde=f，ced=bef， dc=fb， dcefbe（aas）。（2）解：dcefbe，eb=ec。ec=3，bc=2eb=6。四边形abcd是平行四边形，ad=bc。ad=6。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由四边形abcd是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得ab=dc，abdc，继而可求得cde=f，又由bf=ab，即可利用aas，判定dcefbe。（2）由（1），可得be=ec，即可求得bc的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得ad的长。6. （2012浙江衢州6分）如图，在平行四边形abcd中，e、f是对角线bd上的两点，且be=df，连接ae、cf请你猜想：ae与cf有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明【答案】解：猜想：ae=cf。证明如下：四边形abcd是平行四边形，abcd，ab=cd。abe=cdf。在abe和cdf中，ab=cd，abe=cdf，be=df，abecdf（sas），ae=cf。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由四边形abcd是平行四边形，即可得abcd，ab=cd，然后利用平行线的性质，求得abe=cdf，又由be=df，即可由sas证得abecdf，从而可得ae=cf。7. （2012江苏淮安8分）已知：如图在平行四边形abcd中，延长ab到点e，使be=ab，连接de交bc于点f。求证：befcdf【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，dcab，dc=ab。 cdf=b，c=fbe。 又be=ab，be=cd。在bef和cdf中，cdf=b，be=cd，c=fbe，befcdf（asa）。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得ab=cd，abcd，再根据两直线平行，内错角相等可得c=fbe，然后利用asa证明即可。8. （2012江苏泰州10分） 如图，四边形abcd中，adbc，aead交bd于点e，cfbc交bd于点f，且ae=cf求证：四边形abcd是平行四边形【答案】证明：aead，cfbc，ead=cfb=90。aecf，aed=cfb。在rtaed和rtcfb中，ead=cfb=90，aed=cfb， ae=cf，rtaedrtcfb（asa）。ad=bc。又adbc，四边形abcd是平行四边形。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】由垂直得到ead=bcf=90，根据aas可证明rtaedrtcfb，得到ad=bc，根据平行四边形的判定判断即可。9. （2012江苏无锡8分）如图，在abcd中，点e在边bc上，点f在bc的延长线上，且be=cf求证：bae=cdf【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，ab=dc，abdc。b=dcf。在abe和dcf中，ab=dc，b=dcf， be=cf，abedcf（sas）。bae=cdf。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形的性质可得ab=dc，abdc，再根据平行线的性质可得b=dcf，即可由sas证明abedcf，再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论。10. （2012江苏徐州6分）如图，c为ab的中点。四边形acde为平行四边形，be与cd相交于点f。求证：ef=bf。【答案】证明：四边形acde为平行四边形，ed=ac，edac。d=fcb，def=b。 又c为ab的中点，ac=bc。ed=bc。 在def和cbf中，d=fcb，ed=bc，def=b， defcbf（sas）。ef=bf。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，易用sas证明defcbf，从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得ef=bf。11. （2012福建厦门10分）已知abcd，对角线ac与bd相交于点o，点p在边ad上，过点p分别作peac、pfbd，垂足分别为e、f，pepf（1）如图，若pe，eo1，求epf的度数；（2）若点p是ad的中点，点f是do的中点，bf bc34，求bc的长【答案】解：（1）连接po , pepf，popo，peac、pfbd， rtpeortpfo（hl）。epofpo。在rtpeo中， tanepo， epo30。 epf60。（2）点p是ad的中点， apdp。又 pepf， rtpeartpfd（hl）。oadoda。 oaod。 ac2oa2odbd。abcd是矩形。 点p是ad的中点，点f是do的中点， aopf。 pfbd， acbd。abcd是菱形。abcd是正方形。 bdbc。 bfbd，bc34bc，解得，bc4。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接po，利用解直角三角形求出epo=30，再利用“hl”证明peo和pfo全等，根据全等三角形对应角相等可得fpo=epo，从而得解。（2）根据条件证出 abcd是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。12. （2012福建莆田8分）如图，四边形abcd是平行四边形，连接ac(1)(4分)请根据以下语句画图，并标上相应的字母(用黑色字迹的钢笔或签字笔画) 过点a画aebc于点e； 过点c画cfae，交ad于点f；(2)(4分)在完成(1)后的图形中(不再添加其它线段和字母)，请你找出一对全等三角形，并予以证明【答案】解：(1)画图如下： (2)abccda 。证明如下： 四边形abcd是平行四边形， abcd，bcda。 又 acca，abccda（sss）。【考点】作图（复杂作图），平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】（1）根据语句要求画图即可。（2）首先根据平行四边形的性质和aecf，可得abccda，aeccfa，abecdf。下面给出其它两个的证明：aeccfa。证明如下：四边形abcd是平行四边形， adbc。 dacace。aecf， eacacf。ac=ca， aeccfa（asa）。abecdf。证明如下：四边形abcd是平行四边形， adbc，bd，abcd 。又aecf，四边形aecf是平行四边形。aecafc。aebcfd。abecdf（aas）。13. （2012福建南平8分）如图，已知四边形abcd是平行四边形，若点e、f分别在边bc、ad上，连接ae、cf，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件使四边形aecf是平行四边形，并予以证明，备选条件：ae=cf，be=df，aeb=cfd，我选择添加的条件是： （注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）【答案】解：添加的条件可以是be=df（答案不唯一）。证明如下：四边形abcd是平行四边形，adbc，ad=bc。be=df，af=ce，即af=ce，afce。四边形aecf是平行四边形。【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质。【分析】根据平行四边形性质得出adbc，ad=bc，求出afce，af=ce，根据平行四边形的判定推出即可。 当ae=cf时，四边形aecf可能是平行四边形，也可能是等腰梯形。 当aeb=cfd时，四边形aecf也是平行四边形，证明如下：四边形abcd是平行四边形，ab=cd，b=d。aeb=cfd，aebcfd（aas）。ae=cf。四边形abcd是平行四边形，adbc。aeb=eaf。cfd=eaf。aefc。四边形aecf是平行四边形。14. （2012福建泉州9分）如图，bd是平行四边形abcd的一条对角线，aebd于点e，cfbd于点f，求证dae=bcf.【答案】证明：证明：四边形abcd是平行四边形，ad=bc，adbc（平行四边形对边平行且相等）adb=cbd（两直线平行，内错角相等）。aebd，cfbd，aed=cfb=90（垂直的定义）。在ade和cbf中，adb=cbd，aed=cfb，ad=cb，adescbf（aas）。dae=bcf（全等三角形的对应角相等）。 【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由四边形abcd为平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等得到ad=bc，ad与bc平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由aebd，cfbd得到一对直角相等，利用aas可得出三角形ade与三角形cbf全等，利用全等三角形的对应角相等可得出dae=bcf，得证。15. （2012湖北黄石7分）如图，已知在平行四边形abcd中，be=df. 求证：dae=bcf.【答案】证明：四边形abcd为平行四边形， adbc，且ad=bc。ade=bcf。 又be=df， bf=de。 adecbf（sas）。dae=bcf 。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形性质求出adbc，且ad=bc，推出ade=cbf，求出de=bf，由sas证adecbf，推出dae=bcf即可。16. （2012湖南郴州8分）已知：点p是abcd的对角线ac的中点，经过点p的直线ef交ab于点e，交dc于点f求证：ae=cf【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，abcd，pae=pcf。点p是abcd的对角线ac的中点，pa=pc。在pae和pce中，pae=pcf，pa=pc，ape=cpf，paepce（asa）。ae=cf。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由四边形abcd是平行四边形，易得pae=pcf，由点p是abcd的对角线ac的中点，可得pa=pc，又由对顶角相等，可得ape=cpf，即可利用asa证得paepcf，即可证得ae=cf。17. （2012四川广安6分）如图，四边形abcd是平行四边形，点e在ba的延长线上，且be=ad，点f在ad上，af=ab，求证：aefdfc【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，ab=cd，abcd。 d=eaf。af=ab，be=ad，af=cd，adaf=beab，即df=ae。在aef和dfc中，ae=df，eaf=d，af=dc，aefdfc（sas），【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定。【分析】由四边形abcd是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得ab=cd，abcd，又由平行线的性质，即可得d=eaf，然后由be=ad，af=ab，求得af=cd，df=ae，从而由sas证得。18. （2012辽宁鞍山8分）如图，点g、e、f分别在平行四边形abcd的边ad、dc和bc上，dg=dc，ce=cf，点p是射线gc上一点，连接fp，ep求证：fp=ep【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，adbc。dgc=gcb，dg=dc，dgc=dcg。dcg=gcb。dcg+dcp=180，gcb+fcp=180，dcp=fcp。在pcf和pce中，ce=cf，fcp=ecp，cp=cp，pcfpce（sas）。pf=pe。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形的性质推出dgc=gcb，根据等腰三角形性质求出dgc=dcg，推出dcg=gcb，根据等角的补角相等求出dcp=fcp，根据sas证出pcfpce即可。19. （2012辽宁大连9分）如图，abcd中，点e、f分别在ad、bc上，且edbf，ef与ac相交于点o.求证：oaoc.【答案】证明：四边形abcd是平行四边形，ad=bc。 edbf，ae=cf。 四边形abcd是平行四边形，adbc。oae=ocf，oea=ofc。 在aoe 和cof中，oae=ocf，ae=cf，oea=ofc， aoe cof（asa）。oaoc。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形的性质可得adbc。由等量减等量差相等得ae=cf；由两直线平行内错角相等得oae=ocf，oea=ofc。由asa证得aoe cof，从而根据全等三角形对应边相等的性质得oaoc。20. （2012辽宁沈阳10分）已知，如图，在荀abcd中，延长da到点e，延长bc到点f，使得aecf，连接ef，分别交ab，cd于点m，n，连接dm，bn.（1）求证：aemcfn；（2）求证：四边形bmdn是平行四边形.【答案】证明：(1） 四边形abcd是平行四边形，abdc ，adbc。e=f，dab=bcd。 eam=fcn。又ae=cf aemcfn（asa）。（2） 由（1）aemcfn， am=cn。又四边形abcd是平行四边形，abcd 。bmdn。四边形bmdn是平行四边形。【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出adbc，dab=bcd，再根据平行线的性质及补角的性质得出e=f，eam=fcn，从而利用asa可作出证明。（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得bm dn，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明。21. （2012贵州六盘水12分）如图，已知e是abcd中bc边的中点，连接ae并延长ae交dc的延长线于点f（1）求证：abefce（2）连接acbf，若aec=2abc，求证：四边形abfc为矩形【答案】证明：（1）四边形abcd为平行四边形，abdc。abe=ecf。 又e为bc的中点，be=ce。在abe和fce中，abe=fce，be=ce，aeb=fec，abefce（asa）。（2）abefce，ab=cf。又abcf，四边形abfc为平行四边形。be=ec，ae=ef。又aec=2abc，且aec为abe的外角，aec=abc+eab。abc=eab，ae=be。ae+ef=be+ec，即af=bc。四边形abfc为矩形。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和判定，矩形的判定。【分析】（1）由abcd为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到ab与dc平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由e为bc的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用asa可得出三角形abe与三角形fce全等。（2）由abefce，根据全等三角形的对应边相等得到ab=cf；再由ab与cf平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到abfc为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到ae=ef，be=ec；再由aec为三角形abe的外角，利用外角的性质得到aeb等于abe+eab，再由aec=2abc，得到abe=eab，利用等角对等边可得出ae=be，可得出af=bc，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出abfc为矩形。22. （2012山东济南7分）（1）如图1，在abcd中，点e，f分别在ab，cd上，ae=cf求证：de=bf（2）如图2，在abc中，ab=ac，a=40，bd是abc的平分线，求bdc的度数【答案】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，ad=bc，a=c， 在ade和cbf中，ad=cb ，a=c ，ae=cf，adecbf（sas）。de=bf；（2）解：ab=ac，a=40，abc=c=（18040）=70，又bd是abc的平分线，dbc=abc=35。bdc=180dbcc=75。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质，角平分线的定义，角形的内角和定理。【分析】（1）根据四边形abcd是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，由“sas”，证得adecbf，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证。（2）根据ab=ac，利用等角对等边和已知的a的度数求出abc和c的度数，再根据已知的bd是abc的平分线，利用角平分线的定义求出dbc的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出bdc的度数。23. （2012山东潍坊10分）如图，已知平行四边形abcd，过a作ambc于m，