全国高中数学竞赛二试模拟训练题(78)(1).doc

加试模拟训练题（78）1 o1与o2外切于p点，qr为两圆的公切线，其中q，r分别为o1，o2上的切点，过q且垂直于qo2的直线与过r且垂直于ro1的直线交于点i，in垂直于o1o2，垂足为n，in与qr交于点m。证明：pm，ro1，qo2三条直线交于一点。2.设函数f：n+n+，满足条件f（1）=1，且对任意nn+都有试求方程 f（k）+f（l）=293，kl （*）的所有解3. 整数1到n排成一行，从2开始每隔一个整数就删去一个整数，到了端点就返回，将剩下的数反向地每隔一整数就删去一个整数，到了端点再返回，如此反复进行下去例如，n5时，则依次删去2，4，3，5，最后剩下1又如，n7时，则依次删去2，4，6，5，1，7，最后剩下3那么，当n1997时，最后剩下的是什么数？4. 证明：都不能分解成若干个连续正整数之积。加试模拟训练题（78）1 o1与o2外切于p点，qr为两圆的公切线，其中q，r分别为o1，o2上的切点，过q且垂直于qo2的直线与过r且垂直于ro1的直线交于点i，in垂直于o1o2，垂足为n，in与qr交于点m。证明：pm，ro1，qo2三条直线交于一点。证 如图，设ro1与qo2交于点o，连mo，po。 因为o1qm=o1nm=90，所以q，o1，n，m四点共圆，有qmi=qo1o2。 而iqo2=90=rqo1， 所以iqm=o2qo1，故qimqo2o1，得 同理可证。因此 因为qo1ro2，所以有 由，得moqo1。 又由于o1p=o1q，po2=ro2，所以 ，即opro2。从而moqo1ro2op，故m，o，p三点共线，所以pm，ro1，qo2三条直线相交于同一点。2.设函数f：n+n+，满足条件f（1）=1，且对任意nn+都有试求方程 f（k）+f（l）=293，kl （*）的所有解【题说】1995年中国数学奥林匹克（第十届数学冬令营）题2【解】由题设得3f（n）（f（2n+1）-f（2n）=f（2n）6f（n） （1）从而0f（2n+1）-f（2n）2即 f（2n+1）=f（2n）+1 （2）将（2）代入（1），得 f（2n）=3f（n） （3）将n表示成二进制数设其中m1ms0那么由f（1）=1及（2）、（3），用归纳法不难证明则方程（*）即 =35+33+232+3+230 （5）由于右边32、30系数均为2，故在k、l的二进制表示中都含有22和20的项，注意到kl，l的最高项为25故满足条件的（k，l）有4组：1k=22+1=5，l=25+23+22+2+1=472k=22+2+1=7，l=25+23+22+1=453k=23+22+1=13，l=25+22+2+1=394 k=23+22+2+1=15，l=25+22+1=373. 整数1到n排成一行，从2开始每隔一个整数就删去一个整数，到了端点就返回，将剩下的数反向地每隔一整数就删去一个整数，到了端点再返回，如此反复进行下去例如，n5时，则依次删去2，4，3，5，最后剩下1又如，n7时，则依次删去2，4，6，5，1，7，最后剩下3那么，当n1997时，最后剩下的是什么数？【题说】 1997年日本数学奥林匹克预选赛题10【解】 将11997改记为01996，并采用4进制1996的4进制表示是133030在第一个来回里，往程中删去的数，个位数字是奇数；返程中删去的数，个位数字为2所以一个来回后，剩下的数，个位数字均为0，共500个将个位数字0去掉第二个来回又可按照第一个来回的方式删数但这一次返程中删去的数，个位数字为0所以这个来回结束后，剩下的数，个位数字均为2，共125个将个位数字2划去，再按上面的方式删数，如此反复进行，最后剩下的数是022020即24424324648回到原来的编号，最后留下的数是6494. 证明：都不能分解成若干个连续正整数之积。解析：注意到“连续正整数之积”，联想“个连续正整数的积能被整除”。因此只要证明不能被很小的正整数整除即可。由及，得，因而不能分解成三个或三个以上的连续正整数的乘积。是否可以分解成