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加试模拟训练题（54）1ad，be，cf是abc的三条中线，p是任意一点.证明：在pad，pbe，pcf中，其中一个面积等于另外两个面积的和.2. 若0a，b，c1，证明：3. 在黑板上写下从1到1988的所有自然数对这些数依次反复施行运算a和b：先是a后是b，接着再是a，然后再是b，如此继续下去运算a是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算a，减数可以不相同)运算b是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数运算a和b如此顺次施行，直至某次运算b后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？4.设a，b，c是正整数，且 证明：a，b中有一个数等于c，另一个数等于。加试模拟训练题（54）1ad，be，cf是abc的三条中线，p是任意一点.证明：在pad，pbe，pcf中，其中一个面积等于另外两个面积的和.分析：设g为abc重心，直线pg与ab，bc相交.从a，c，d，e，f分别作该直线的垂线，垂足为a，c，d，e，f. 易证aa=2dd，cc=2ff，2ee=aa+cc， ee=dd+ff. 有spge=spgd+spgf. 两边各扩大3倍，有spbe=spad+spcf.2. 若0a，b，c1，证明：【题说】第九届（1980年）美国数学奥林匹克题5结论可以推广到n个数的情形【证】令因为（1b）（1c）（1+b+c）（1b）（1c）（1+b）（1+c）=（1b2）（1c2）1（当a、b、c轮换时均成立）因此03. 在黑板上写下从1到1988的所有自然数对这些数依次反复施行运算a和b：先是a后是b，接着再是a，然后再是b，如此继续下去运算a是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算a，减数可以不相同)运算b是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数运算a和b如此顺次施行，直至某次运算b后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？【题说】第十四届(1988年)全俄数学奥林匹克十年级题3【解】施行运算a和b各一次后，黑板上的数就少了一个所以运算a和b各施行1987次后，黑板上就留下一个数设施行第k次运算a时，减数为自然数dk，k1，2，1987经第k次的运算a后，写在黑板上的数的和少了(1989k)dk；而经运算b后，这个和数是不变的所以运算a和b各施行1987次后，黑板上写的数是x(121988)1988d11987d22d19871988(1d1)1987(1d2)(1989k)(1dk)2(1d1987)1显然(1989k)(1dk)0，并且若对某个k，有dk2，则(1989k)(dk1)2故 x(1989k)(1dk)11与题设矛盾因此，对一切k1，2，1987，dk1所以x1，即黑板上最后留下的数是14.设a，b，c是正整数，且 证明：a，b中有一个数等于c，另一个数等于。证明： 设
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