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加试模拟训练题（53）1在abc的边ab，bc，ca上分别取点p，q，s.证明以aps，bqp，csq的外心为顶点的三角形与abc相似. 2.设a、b、c、d是满足ab+bc+cd+da=1的非负数试证：3. 在大小为nn的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0对这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i个元素加上或减去行的第i个元素试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格4. 若。加试模拟训练题（53）1在abc的边ab，bc，ca上分别取点p，q，s.证明以aps，bqp，csq的外心为顶点的三角形与abc相似. (b波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设o1，o2，o3是aps，bqp，csq的外心，作出六边形o1po2qo3s后再由外心性质可知 po1s=2a， qo2p=2b， so3q=2c. po1s+qo2p+so3q=360.从而又知o1po2+o2qo3+o3so1=360 将o2qo3绕着o3点旋转到kso3，易判断kso1o2po1，同时可得o1o2o3o1ko3. o2o1o3=ko1o3=o2o1k =(o2o1s+so1k) =(o2o1s+po1o2) =po1s=a； 同理有o1o2o3=b.故o1o2o3abc.2.设a、b、c、d是满足ab+bc+cd+da=1的非负数试证：【题说】第三十一届（1990年）imo预选题88本题由泰国提供【证】设则由柯西不等式熟知所以3. 在大小为nn的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0对这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i个元素加上或减去行的第i个元素试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格【题说】第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克九年级题8【证】以cij，k表示将第i行加到第j列上去，并从第k列减去第i行依次施行下列运算：c1n,1，c2n,2，cn1n,n1得出一个表格，对角线上的所有元素(位于第n行、第n列的元素除外)都等于0考虑运算序列cij,i，cii,j，cji,j，cin,i，cij,n不难验证，应用这些运算得到的新表格，位于第i行、第j列的数等于0，而不在最后一行或最后一列的数都不变对i1，2，n1和i1，2，n1，依次应用上述运算序列，得到一个表格，其中不为0的数只能位于最后一行或最后一列因为任意一行和任意一列上各数之和都等于0(应用上述运算时，这个
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