高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（1）课件1 新人教A版必修4.ppt

1 2任意角的三角函数1 2 1任意角的三角函数 一 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一 三角学起源于对三角形边角关系的研究 始于古希腊的喜帕恰斯 梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量 在相当长的时期里隶属于天文学 直到1464年 德国数学家雷格蒙塔努斯著 论各种三角形 才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说 14 16世纪 三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容 研究的方面包括三角函数值表的编制 平面三角形和球面三角形的解法 三角恒等式的建立和推导等等 1631年 三角学传入中国 三角学在中国早期比较通行的名称是 八线 和 三角 八线 是指在单位圆上的八种三角函数线 正弦线 余弦线 正切线 余切线 正割线 余割线 正矢线 余矢线 随着科学的发展 三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具 它在测量 力学工程和无线电学中有着广泛的应用 在直角三角形abc中 c 90 sin cos tan 分别叫做角 的正弦 余弦和正切 它们的值分别等于什么 当角 不是锐角时 我们必须对sin cos tan 的值进行推广 以适应任意角的需要 如何定义任意角的三角函数呢 1 掌握任意角的三角函数的定义 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 重点 2 已知角 终边上一点 会求角 的各三角函数值 3 掌握三角函数的定义域 重点 难点 思考1 我们把锐角 放到直角坐标系中 并使角 的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 在角 的终边上取一点p a b 设点p与原点的距离为r 那么 sin cos tan 的值分别如何表示 探究一 三角函数的定义 定义域 x y o p a b r 提示 思考2对于确定的角 上述三个比值是否随点p在角 的终边上的位置的改变而改变呢 为什么 提示 由相似三角形的知识可知 这三个比值不会随着点p在角 的终边上的位置的改变而改变 m o p 思考3 为了使sin cos 的表示式更简单 你认为点p的位置选在何处最好 此时 sin cos 分别等于什么 提示 op 1处 设 是一个任意角 它的终边与单位圆 以原点为圆心 以单位长为半径的圆 交于点p x y 为了不与当 为锐角时的三角函数值发生矛盾 你认为sin cos tan 对应的值应分别如何定义 提示 任意角的三角函数 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 我们将它们统称为三角函数 三角函数 思考4 对于一个任意给定的角 按照上述定义 对应的sin cos tan 的值是否存在 是否唯一 角 的终边在y轴上时 tan 的值无意义 除此之外 其他的角的三角函数值都是唯一确定的 提示 正弦 余弦 正切函数的定义域 解 即时训练 探究二 三角函数的符号 思考 根据任意角三角函数的定义 sin cos tan 的值的符号取决于什么 提示 由任意角三角函数的定义知sin cos tan 的值的符号取决于单位圆与角的终边交点的坐标的符号 口诀 一全二正弦 三切四余弦 三角函数的符号 o 确定下列各三角函数值的符号 1 2 cos130 3 解 即时训练 例1 求的正弦 余弦和正切值 解 变式练习 例2 已知角 的终边经过点p0 3 4 求角 的正弦 余弦和正切值 记住三角函数的定义 若点p x y 为角 终边上任意一点 则 提升总结 如图已知角 的终边与单位圆的交点是求角 的正弦 余弦和正切值 解 根据任意角的三角函数定义 点评 若已知角 的终边与单位圆的交点坐标 则可直接利用定义求三角函数值 变式练习 1 角 的终边经过点p 0 b 则 a sin 0b sin 1c sin 1d sin 1 2 若角600o的终边上有一点 4 a 则a的值是 d b 3 下列各式为正号的是 a cos2b cos2 sin2c tan2 cos2d sin2 tan2 c 4 若lg sin tan 有意义 则 是 a 第一象限角b 第四象限角c 第一象限角或第四象限角d 第一或第四象限角或x轴的正半轴 c 5 已知 的终边过点 3a 9 a 2