高中数学 6.4中国剩余定理导学案 北师大版选修31.doc

中国剩余定理民间传说着一则故事“韩信点兵”秦朝末年，楚汉相争一次，韩信带1 500名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬，杀声震天汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名韩信马上向将士们宣布：我军有1 073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”“神机妙算”于是士气大振一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团交战不久，楚军大败而逃你知道韩信是怎么算出士兵人数的吗？这要用到今天我们要学习的知识1“物不知数”这个题目最早出现在我国古老的数学名著孙子算经之中，原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”实际上这个问题用现代数学语言表示，就是求一次同余式组的解的问题：求正整数x，满足条件为_这个同余式等价于求下面不定方程组的正整数解_2“物不知数”问题的解法分3步：(1)设p满足两个条件：5|p,7|pp_；设q满足两个条件：3|q,7|qq_；设r满足两个条件：3|r,5|rr_.(2)把它们叠加起来，就得到解：2p3q2r.因为2p3q2r除以3余2，除以5余3，除以7余2.(3)我们来求p的值由p57m(m是自然数)，令m1，p352(mod 3)；令m2，p701(mod 3)p_.同理求得q_，r_.故2_3q2r_.因为问题的解不唯一，且357105，所以最小正整数解为_满足条件的所有解为_3我国南宋时期数学家_在数书九章第一章“大衍术”中给出了“物不知数”的一般形式及其解法因为所用的一次同余方程右边均为1，所以他称这种方法为“大衍求一术”4德国人_首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的，这一发现受到当时数学史学家们的高度重视，从此，西方将关于一次同余方程组求解的剩余定理称为“_”答案：1 21(mod 3)1(mod 5)1(mod 7)702115p23323310522323105n(其中n为自然数)3秦九韶4马蒂生中国剩余定理一、问题来源【例1】 “物不知数”这个驰名中外的问题最早出现在_之中()a九章算术b周髀算经c孙子算经d数书九章答案：c【例2】 韩信点兵问题就是今天数论中的()a函数问题b拓扑问题c运筹问题d同余问题答案：d“物不知数”等价于下列哪个不定方程的正整数解()a bc d二、问题的解【例3】 “物不知数”问题的最小正整数解是()a13 b23c105 d233答案：b【例4】 “物不知数”问题给出解法“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十并之，得二百三十三以二百一十减之，即得”的著作是()a九章算术 b孙子算经c墨经 d周易答案：b“物不知数”的解法口诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝七子团圆正半月，除百零五便得知”出自()a算法统宗 b孙子算经c数书九章 d九章算术三、秦九韶与大衍求一术【例5】 下列哪部著作是秦九韶所写()a九章算术b海岛算经c数书九章d五经算术答案：c【例6】 秦九韶是我国()a北宋时期数学家b南宋时期数学家c唐朝时期数学家d明朝时期数学家答案：b第一个发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法是一致的德国人是()a斐波那契b伟烈亚力c马蒂生d康托关于一次同系方程组求解的剩余定理在西方被称为“中国剩余定理”，在中国又称为“_”1韩信点兵问题实际上出自数学名著孙子算经中的“物不知数”问题2“物不知数”问题的一般解为23105n(其中n是自然数)，最小正整数解为23.3秦九韶在数书九章一书中给出了“物不知数”问题的一般形式及一般解法：“大衍求一术”4“大衍求一术”失传了500多年，清朝黄宗宪等人经过艰苦努力使其重新出现在世人面前51876年，德国人马蒂生首先发现“大衍求一术”与高斯发现的一次同余方程组的一般解法一