高中数学 第一章 三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式(一)学案 苏教版必修4.doc

1.2.3三角函数的诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题知识链接1对于任意一个角，与它终边相同的角的集合应如何表示？答所有与终边相同的角，连同在内，可以构成一个集合：s|k360，kz，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和2设为任意角，则，的终边与的终边之间有什么对称关系？答相关角终边之间的对称关系与关于原点对称与关于x轴对称与关于y轴对称预习导引1诱导公式一四(1)公式一：sin(2k)sin_，cos(2k)cos_，tan(2k)tan_，其中kz.(2)公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.(3)公式三：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.(4)公式四：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.2公式记忆的规律2k(kz)，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号简记为“函数名不变，符号看象限”.要点一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320；(2)cos ；(3)tan (945)解(1)方法一sin 1 320sin (3360240)sin 240sin (18060)sin 60.方法二sin 1 320sin(4360120)sin(120)sin (18060)sin 60.(2)方法一cos cos cos cos ()cos .方法二cos cos cos cos .(3)tan (945)tan 945tan (2252360)tan 225tan (18045)tan 451.规律方法此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，然后求解跟踪演练1求sin cos 的值(nz)解当n为奇数时，原式sin sin sin cos .当n为偶数时，原式sin cos sin cos sin .要点二给值求值问题例2已知cos (75)，且为第四象限角，求sin (105)的值解cos (75)0，且为第四象限角，75是第三象限角sin (75) .sin (105)sin sin (75).规律方法解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式跟踪演练2已知cos()，2，求sin(3)cos()的值解cos()cos ，cos ，2，2，sin .sin(3)cos()sin(3)cos()sin()(cos )sin cos (sin cos ).要点三三角函数式的化简例3化简下列各式(1)(kz)；(2).解(1)当k2n(nz)时，原式1；当k2n1(nz)时，原式1.综上，原式1.(2)原式1.规律方法三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数(3)注意“1”的变式应用：如1sin2 cos2tan .跟踪演练3化简.解原式.1求下列三角函数的值(1)sin 690；(2)cos；(3)tan(1 845)解(1)sin 690sin(360330)sin 330sin(180150)sin 150sin(18030)sin 30.(2)coscos cos(6)cos coscos .(3)tan(1 845)tan(536045)tan(45)tan 451.2化简：.解原式1.3求的值解原式1.4证明：(1)ncos ，nz.证明当n为偶数时，令n2k，kz，左边cos .右边(1)2kcos cos ，左边右边当n为奇数时，令n2k1，kz，左边cos .右边(1)2k1cos cos ，左边右边综上所述，(1)ncos ，nz成立1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为02之间的角求值公式二将负角转化为正角求值公式三将0之间的角转化为0之间的角求值公式四将02内的角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角一、基础达标1sin 585的值为_答案2若n为整数，则代数式的化简结果是_答案tan 3若cos()，2，则sin(2)_.答案解析由cos()，得cos ，故sin(2)sin (2)4化简：_.答案sin 解析原式sin .5记cos(80)k，那么tan 100_.答案解析cos(80)k，cos 80k，sin 80.tan 80.tan 100tan(18080)tan 80.6已知cos，则cos_.答案解析coscoscos.7若f(sin x)2sin 2x，则f(cos x)_.答案2sin 2x解析f(cos x)f2sin2sin(2x)2sin 2x.二、能力提升8若sin()log8 ，且，则cos()_.答案解析sin()sin log23 22，cos()cos .9已知tan(4)m(m1)，则的值为_答案10设f(x)asin(x)bcos(x)2，其中a、b、为非零常数若f(2 015)1，则f(2 016)_.答案3解析f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)2asin()bcos()22(asin bcos )1，asin bcos 1，f(2 016)asin(2 016)bcos(2 016)2asin bcos 23.11若cos()，求的值解原式tan .cos()cos()cos ，cos .为第一象限角或第四象限角当为第一象限角时，cos ，sin ，tan ，原式.当为第四象限角时，cos ，sin ，tan ，原式.综上，原式.12已知tan ，是关于x的方程3x23kx3k2130的两实根，且3，求cos(2)sin(2)的值解因为tan ，是关于x的方程3x23kx3k2130的两实根，所以tan (3k213)1，可得k2.因为30，sin 0，cos 0，故k，所以tan ，所以sin cos ，所以(cos sin )212sin cos 12.因为cos sin 0，所以cos sin .所以cos(2)sin(2)cos sin .三、探究与