高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学案 苏教版必修4.doc

1.3.2三角函数的图象与性质(二)学习目标1.掌握ysin x与ycos x的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yasin(x)及yacos(x)的单调区间知识链接1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数ysin x的图象关于原点对称，余弦函数ycos x的图象关于y轴对称2上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是r上的奇函数，余弦函数是r上的偶函数根据诱导公式得，sin(x)sin x，cos(x)cos x均对一切xr恒成立3观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.预习导引正弦函数、余弦函数的性质：函数ysin xycos x图象定义域rr值域1,11,1对称性对称轴：xk(kz)；对称中心：(k，0)(kz)对称轴：xk(kz)；对称中心：(kz)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2最小正周期：2单调性在2k，2k(kz)上单调递增；在2k，2k(kz)上单调递减在2k，2k(kz)上单调递增；在2k，2k(kz)上单调递减最值在x2k(kz)时，ymax1；在x2k(kz)时，ymin1在x2k(kz)时，ymax1；在x2k(kz)时，ymin1要点一求正弦、余弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的递增区间，即求sin z的递减区间，即2kz2k(kz)2kx2k(kz)，2kx2k(kz)，函数y2sin的递增区间为(kz)规律方法用整体替换法求函数yasin(x)或yacos(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间，再将最终结果写成区间形式跟踪演练1求下列函数的单调递增区间：(1)y12sin；(2)ylogcos x.解(1)y12sin12sin.令ux，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是ysin u的单调递减区间，即2ku2k(kz)，亦即2kx2k(kz)亦即2kx2k(kz)，故函数y12sin的单调递增区间是(kz)(2)由cos x0，得2kx2k，kz.1，函数ylogcos x的单调递增区间即为ucos x，x(kz)的递减区间，2kx2k，kz.故函数ylogcos x的单调递增区间为(kz)要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)sin 196与cos 156；(3)cos与cos.解(1)sin.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，且ysin x在0，90上是增函数，sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(3)coscos cos(4)cos ，coscos coscos .0，且ycos x在0，上是减函数，cos cos ，即coscos.规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小跟踪演练2比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)cos 870与sin 980.解(1)sinsinsin，sinsinsin ，ysin x在上是增函数，sinsin ，即sinsin .(2)cos 870cos(720150)cos 150，sin 980sin(720260)sin 260sin(90170)cos 170，0150170cos 170，即cos 870sin 980.要点三求正弦、余弦函数的最值(值域)例3(1)求函数y32sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f(x)2sin2 x2sin x，x的值域解(1)1sin x1，当sin x1，即x2k，kz时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为.当sin x1，即x2k，kz时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为.(2)令tsin x，yf(t)，x，sin x1，即t1.y2t22t221，1y，函数f(x)的值域为.规律方法(1)形如yasin xb(或yacos xb)的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(1sin x1，1cos x1)求解求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如yasin2 xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xd的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性跟踪演练3求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值解，coscoscossin.从而原式就是y2sin，这个函数的最小正周期为，即t.当2k4x2k(kz)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为(kz)当2k4x2k(kz)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为(kz)当x(kz)时，ymax2；当x(kz)时，ymin2.要点四三角函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x).解(1)显然xr，f(x)cos x，f(x)coscos xf(x)，f(x)是偶函数(2)由得1sin x0.2k2k(kz)整理得4kx0，0)单调区间的方法：把x看成一个整体，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kz)解出x的范围，所得区间即为减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围一、基础达标1函数ysin(x)，x的单调增区间是_答案2函数y2sin的值域是_答案0,2解析x，02x.0sin1，y0,23函数y2sin x的单调增区间是_答案2k，2k(kz)解析函数y2x为增函数，因此求函数y2sin x的单调增区间即求函数ysin x的单调增区间4若f(x)是r上的偶函数，当x0时，f(x)sin x，则f(x)_.答案f(x)sin |x|，xr解析当x0，f(x)sin(x)sin x，f(x)f(x)，x0，分子分母同除以sin x得：f(x)1，因为a0,0x，所以0sin x1，所以f(x)1a，即函数f(x)有最小值而无最大值10下列函数中的奇函数的是_y|sin x|；ysin(|x|)；ysin |x|；yxsin |x|.答案解析利用定义，显然yxsin |x|是奇函数11已知是正数，函数f(x)2sin x在区间，上是增函数，求的取值范围解由2kx2k(kz)，得x.f(x)的单调递增区间是，kz.根据题意，得，从而有解得0.故的取值范围是(0，12定义在r上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x.(1)当x，0时，求f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在，上的函数简图；(3)当f(x)时，求x的取值范围解(1)f(x)是偶函数，f(x)f(x)而当x时，f(x)sin x.当x时，f(x)f(x)sin(x)sin x.又当x时，x，f(x)的周期为，f(x)f(x)sin(x)sin x.当x，0时，f(x)sin x.(2)如图(3)由于f(x)的最小正周期为，因此先在，