高中数学 2.3数学归纳法学案 新人教A版选修22.doc

23数学归纳法1了解数学归纳法原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法设p(n)是一个与自然数相关的命题集合，如果：证明起始命题(p1或p0)成立；在假设pk成立的前提下，推出pk1也成立，那么可以断定，p(n)对一切自然数成立2用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(例如n00或_n01)时，命题p(n)正确；(2)假设nk(kn0，kn*)时命题正确，证明当nk1时命题也正确，即p(k1)为真；(3)根据(1)(2)知，当nn0且nn*时，p(n)正确想一想：(1)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法？(2)数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?(1)解析：不能数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种方法(2)解析：数学归纳法的第一步中n0的初始值应根据命题的具体情况来确定，不一定是1.如用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n2)180时，其初始值n03. 1用数学归纳法证明1qq2qn1(nn*，q1)，在验证n1等式成立时，等式左边的式子是(c)a1 b1qc1qq2 d1qq2q3解析：左边1qq111qq2.故选c.2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是(c)a(2k1)(2k2) b(2k1)(2k1)c(2k2)(2k3) d(2k2)(2k4)解析：当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选c.3用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”从“k到k1”左端需增乘的代数式为(b)a2k1 b2(2k1)c. d.解析：当nk时左端的第一项为(k1)，最后一项为(kk)当nk1时，左端的第一项为(k2)，最后一项为(2k2)左边乘以(2k1)(2k2)，同时还要除以(k1)1一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则(b)a该命题对于n2的自然数n都成立b该命题对于所有的正偶数都成立c该命题何时成立与k取值无关d以上答案都不对解析：由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立，又n2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选b.2等式122232n2(5n27n4)(b)an为任何正整数都成立b仅当n1，2，3时成立c当n4时成立，n5时不成立d仅当n4时不成立解析：经验证，n1，2，3时成立，n4，5，不成立故选b.3用数学归纳法证明某命题时，左式为cos cos 3cos(2n1)(k，kz，nn*)，在验证n1时，左边所得的代数式为(b)a.b.cos c.cos cos 3d.cos cos 3cos 5解析：令n1，左式cos .故选b.4用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化即可得结论答案：5(2014揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nn*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开(a)a(k3)3 b(k2)3c(k1)3 d(k1)3(k2)3解析：因为从nk到nk1的过渡，增加了(k1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除6已知f(n)，则(d)af(n)共有n项，当n2时，f(2)bf(n)共有n1项，当n2时，f(2)cf(n)共有n2n项，当n2时，f(2)df(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n1个，且f(2).7用数学归纳法证明当nn时，12222325n1是31的倍数时，当n1时原式为12222324，从kk1时需增添的项是25k25k125k225k325k48用数学归纳法证明等式12222n12n1(nn*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，等式成立假设nk(k1，且kn*)时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k12k2k11，所以当nk1时，等式也成立由知，对任意nn*，等式成立上述证明错误的原因是没用上归纳假设9证明不等式12(nn*)证明：(1)当n1时，左边1，右边2.左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k1且kn*)时，不等式成立即12.则当nk1时，左边122.当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，原不等式对任意nn*都成立10在数列an中，a11，an1(nn*)(1)试求：a2，a3，a4的值；(2)由此猜想数列an的通项公式an；(3)用数学归纳法加以证明(1)解析：由a11，an1，可得a2，a3，a4分别是， .(2