高考数学大一轮复习 第十篇 计数原理 概率 随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理.ppt

第十篇计数原理 概率 随机变量及其分布 必修3 选修2 3 六年新课标全国卷试题分析 第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理中要特别注意什么 提示 分类时注意 不重不漏 分步时注意 步骤完整 2 在应用中 如何确定使用哪个原理 提示 方法分类 每类中的方法都能直接完成一件事情 则使用分类加法计数原理 完成一件事情需分若干步骤 只有顺次完成各个步骤事情才能完成 则使用分步乘法计数原理 知识梳理 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 这个原理称为分类加法计数原理 推广 完成一件事有n类不同方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m n m1 m2 mn 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 推广 完成一件事需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m n m1 m2 mn 对点自测 1 乘积 a1 a2 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 的展开式中共有个不同的项 解析 2 3 4 4 96 答案 96 2 如图 一条电路由a到b接通时 有种不同的线路 解析 3 1 2 2 8 3 将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人 每人1张 则不同分法的种数是 解析 分步来完成此事 第1张有10种分法 第2张有9种分法 第3张有8种分法 共有10 9 8 720种分法 答案 8 答案 720 4 现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座 每名同学可自由选择其中的一个讲座 不同选法的种数是 解析 每个同学都有3种选择 所以不同选法共有34 81 种 答案 81 5 用1 5 9 13中的任意一个数作分子 4 8 12 16中的任意一个数作分母 可构成个不同的分数 可构成个不同的真分数 解析 由于1 5 9 13是奇数 4 8 12 16是偶数 所以以1 5 9 13中的任意一个为分子 都可以与4 8 12 16中的一个构成分数 因此可以分两步构成分数 第一步 选分子 有4种选法 第二步 选分母 也有4种选法 共有分数4 4 16 个 分四类 分子为1时 分母可以从4 8 12 16中选一个 有4个 分子为5时 分母从8 12 16中选一个 有3个 分子为9时 分母从12 16中选一个 有2个 分子为13时 分母只能选16 有1个 所以共有真分数4 3 2 1 10 个 答案 1610 考点专项突破在讲练中理解知识 分类加法计数原理 考点一 例1 a b c d e共5个人 从中选1名组长1名副组长 但a不能当副组长 不同选法的种数是 a 20 b 16 c 10 d 6 解析 当a当组长时 共有1 4 4种选法 当a不当组长时 又因为a也不能当副组长 共有4 3 12种选法 因此共有4 12 16种选法 故选b 反思归纳本题是分类加法计数原理的直接应用 解题时首先把问题分类 然后确定每类中的方法数 最后按照分类加法计数原理得出结果 即时训练 1 某班班干部有5名男生 4名女生 从9人中选1人参加某项活动 则不同选法的种数为 a 9 b 5 c 4 d 72 2 如图所示 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有个 解析 1 分两类 一类从男生中选1人 有5种方法 另一类是从女生中选1人 有4种方法 因此 共有5 4 9种不同的选法 故选a 2 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 第二类 有两条公共边的三角形共有8个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40 个 答案 1 a 2 40 分步乘法计数原理 考点二 例2 1 导学号18702554某市汽车牌号码可以上网自编 但规定从左到右第二个号码只能从字母b c d中选择 其他四个号码可以从0 9这十个数字中选择 数字可以重复 一车主第一个号码 从左到右 只想在数字3 5 6 8 9中选择 其他号码只想在1 3 6 9中选择 则他的车牌号码可选的所有可能情况有 a 180种 b 360种 c 720种 d 960种 2 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法的种数为 解析 1 按照车主的要求 从左到右第一个号码有5种选法 第二个号码有3种选法 其余三个号码各有4种选法 因此车牌号码可选的所有可能情况有5 3 4 4 4 960 种 故选d 2 甲有7种站法 乙也有7种站法 丙也有7种站法 故不考虑限制共有站法7 7 7 343 种 其中三个人站在同一台阶上的有7种站法 故符合本题要求的不同站法有343 7 336 种 答案 1 d 2 336 反思归纳如果 一件事情 需要分成若干步骤才能完成 则就需要使用分步乘法计数原理计数完成这件事情的方法总数 如果其中存在某些特殊情况 则从总数中减去特殊情况的数目即可 这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的 即时训练 1 从0 1 2 3 4这5个数字中任取3个组成三位数 其中奇数的个数是 a 16 b 18 c 20 d 24 2 某单位有甲 乙 丙 丁四个部门 分别有工作人员8名 10名 12名 15名 现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动 则不同的选派方法的种数为 解析 1 从1 3中取一个排个位 故排个位有2种方法 排百位不能是0 可以从另外3个数中取一个 有3种方法 排十位有3种方法 故所求奇数的个数为3 3 2 18 故选b 2 选派工作可以分四个步骤完成 分别从甲 乙 丙 丁四个部门中各选派一人 根据分步乘法计数原理 共有不同的选派方法有8 10 12 15 14400 种 答案 1 b 2 14400 两个原理的综合 考点三 例3 1 导学号18702555如图 矩形的对角线把矩形分成a b c d四部分 现用5种不同颜色给四部分涂色 每部分涂1种颜色 要求共边的两部分颜色互异 则共有种不同的涂色方法 解析 1 区域a有5种涂色方法 区域b有4种涂色方法 区域c的涂色方法可分2类 若c与a涂同色 区域d有4种涂色方法 若c与a涂不同色 此时区域c有3种涂色方法 区域d也有3种涂色方法 所以共有5 4 4 5 4 3 3 260种涂色方法 答案 1 260 2 甲 乙 丙3个班各有三好学生3名 5名 2名 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会 则不同的推选方法种数为 解析 2 分为三类 第一类 甲 乙各一名 根据分步乘法计数原理有3 5 15 种 第二类 甲 丙各一名 有3 2 6 种 第三类 乙 丙各一名 有5 2 10 种 根据分类加法计数原理 共有15 6 10 31种不同选法 答案 2 31 备选例题 例题 1 设集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 定义a b x y x a b y a b 则a b中元素的个数是 a 7 b 10 c 25 d 52 解析 1 由题意知本题是一个分步乘法计数原理 因为集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 所以a b 0 1 a b 1 0 1 2 3 所以x有2种取法 y有5种取法 所以根据分步乘法计数原理得2 5 10 故选b 答案 1 b 2 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有个 用数字作答 解析 2 法一用2 3组成四位数共有2 2 2 2 16 个 其中不出现2或不出现3的共2个 因此满足条件的四位数共有16 2 14 个 法二满足条件的四位数可分为三类 第一类含有一个2 三个3 共有4个 第二类含有三个2 一个3共有4个 第三类含有二个2 二个3共有6个 因此满足条件的四位数共有4 4 6 14 个 答案 2 14 易混易错辨析用心练就一双慧眼 各步中方法数确定不准致误 典例 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目 在下列情况下各有多少种不同的报名方法 1 每人恰好参加一项 每项人数不限 2 每项限报一人 但每人参加的项目