电大经济数学基础形成性考核册答案

1 电大 经济数学基础形成性考核册及参考答案 （一）填空题 1. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _s inlim0 xxxx.答案： 0 2.设 0, 0,1)(2xkxxxf ，在 0x 处连续，则 _k .答案： 1 3.曲线 xy 在 )1,1( 的切线方程是 .答案：2121 xy4.设函数 52)1( 2 xxxf ，则 _ _ _ _ _ _ _)( xf .答案： x2 5.设 xxxf sin)( ，则 _ _ _ _)2( f.答案：2（二）单项选择题 1. 函数212 xx xy的连续区间是（ D ） A ),1()1,( B ),2()2,( C ),1()1,2()2,( D ),2()2,( 或 ),1()1,( 2. 下列极限计算正确的是（ B ） A. 1lim0 xxxB. 1lim0 xxxC. 11sinlim0 xxxD. 1sinlim xxx3. 设 y x lg2 ，则 dy （ B ） A 12 dx xB 1 dx xln10C ln10x xdD 1dx x4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则 ( B )是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义 B Axfxx )(lim 0，但 )(0xfA C函数 f (x)在点 x0处连续 D函数 f (x)在点 x0处可微 5.当 0x 时，下列变量是无穷小量的是（ C ） . A x2 BxxsinC )1ln( x D xcos (三 )解 答题 1计算极限 （ 1）211 23lim 221 xxxx 2 2112lim)1)(1()2)(1(lim11xxxxxxxx原式（ 2）2186 65lim 222 xxxxx原式 =4)-2)(x-(x3)-2)(x-(xlim2x 2143lim2 xxx（ 3）2111lim 0 xxx原式 =)11()11)(11(lim0 xxxxx=111lim0 xx=21（ 4）31423 53lim 22 xx xxx原式 =22433531xxxx=31（ 5）535sin 3sinlim0 xxx原式 =xxxxx55sin33sinlim530=53 3 （ 6） 4)2s in(4lim 22 xxx原式 =2)2sin(2lim2xxxx=2)2sin(lim)2(lim22xxxxx = 4 2设函数0s in0,0,1s in)(xxxxaxbxxxf ， 问：（ 1）当 ba, 为何值时， )(xf 在 0x 处有极限存在？ （ 2）当 ba, 为何值时， )(xf 在 0x 处连续 . 解： (1) 1)(lim,)(lim00 xfbxf xx当 1f ( 0 )f ( x )lim10x 有时，ba(2). 1f ( 0 )f ( x )lim1ba0x 有时，当函数 f(x)在 x=0 处连续 . 3计算下列函数的导数或微分： （ 1） 222 2lo g2 xxy x ，求 y 答案：2ln12ln22 xxy x （ 2）dcx baxy ，求 y 答案：22 )()()()(dcxbcaddcxbaxcdcxay （ 3）531 xy，求 y 答案： 23)53(23 xy （ 4） xxxy e ，求 y 4 答案： )(21 xx xeexy = xx xeex 21 （ 5） bxy ax sine ，求 yd 答案： )c o s( s inc o ss in)( s in( s in)(bxbbxebxbebxaebxebxeyaxaxaxaxax dxbxbbxaedy ax )co ss in( （ 6） xxy x 1e ，求 yd 答案： xexy x 231 12 dxexxdy x )123( 12（ 7） 2ecos xxy ，求 yd 答案： )()(s in 22 xexxy x = 222sin xxexx dxxexxdy x )22s in( 2 （ 8） nxxy n s ins in ，求 y 答案： nxnxxny n c o sc o ss in 1 （ 9） )1ln( 2xxy ，求 y 答案： )1(11 22 xxxxy= )11(1122 xxxx =222 1111xxxxx =21x（ 10）xxxy x 212 3 21c o t ，求 y 5 答案：531c o s261211c o s61211s in2ln21)2()1(c o s2ln2xxxxxxxyxx4.下列各方程中 y 是 x 的隐函数，试求 y 或 yd (1) 方程两边对 x求导： 0322 yxyyyx 32)2( xyyxy 所以 dxxyxydy232 (2) 方程两边对 x 求导： 4)()1)(c o s ( yxyeyyx xy xyxy yeyxyxeyx )c o s (4) c o s ( 所以 xyxyxeyxyeyxy)c o s ()c o s (4 5求下列函数的二阶导数： （ 1） )1ln( 2xy ，求 y 答案： (1) 212 xxy 222222)1(22)1(22)1(2xxxxxxy (2) 212321212121)( xxxxy 23254143 xxy 14143)1( y作业（二） （一）填空题 1.若 cxxxf x 22d)( ，则 _)( xf .答案： 22ln2 x 6 2. xx d)sin( _ .答案： cxsin 3. 若 cxFxxf )(d)( ，则 xxxf d)1( 2 .答案： cxF )1(21 24.设函数 _d)1ln (dd e1 2 xxx.答案： 0 5. 若 ttxP x d11)( 02 ，则 _ _ _ _ _)( xP .答案：211x（二）单项选择题 1. 下列函数中， （ D ）是 xsinx2的原函数 A21cosx2 B 2cosx2 C -2cosx2 D -21cosx2 2. 下列等式成立的是（ C ） A )d(cosdsin xxx B )1d(dlnxxx C )d(22ln1d2 xx x D xxx dd1 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ） A xxc 1)dos(2 ， B xxx d1 2 C xxx d2sin D xxx d1 24. 下列定积分计算正确的是 （ D ） A 2d211 xxB 15d161 xC 0)d( 32 xxxD 0dsin xx5. 下列无穷积分中收敛的是 （ B ） A 1 d1 xx B 1 2 d1 xx C 0 de xxD 1 dsin xx(三 )解答题 1.计算下列不定积分 （ 1） xxx de3原式 = dxe x)3(= ceceexxx)13( ln33ln)3(（ 2） xxx d)1( 2 答案： 原式 = dxxxx )2( 2321 = cxxx 25232152342 （ 3） xxx d242 答案： 原式 = cxxdxx 221)2( 2 7 （ 4） xx d21 1答案： 原式 = cxx xd 21ln2121 )21(21（ 5） xxx d2 2 答案： 原式 = )2(221 22 xdx= cx 232 )2(31 （ 6） xxx dsin 答案： 原式 = cxxdx c o s2s in2 （ 7） xxx d2sin答案： (+) x 2sin x(-) 1 2cos2 x(+) 0 2sin4 x 原式 = cxxx 2s in42c o s2（ 8） xx 1)dln( 答案： (+) )1ln( x 1 (-) 11xx 原式 = dxx xxx 1)1ln (= dxxxx )111()1ln (= cxxxx )1ln ()1ln ( 2.计算下列定积分 （ 1） xxd121 答案： 原式 = 2111 )1()1( dxxdxx=29252)21(2 212 xx 8 （ 2） xxx de21 21 答案： 原式 = 21221 1)( xdxxe x = 21211 eee x （ 3） xxx dln113e1 答案： 原式 = 31 )ln1(ln1e xdxxx = 21ln123 ex （ 4） xxx d2cos20 答案： (+)x x2cos (-)1 x2sin21(+)0 x2cos41 原式 = 20)2c o s412s in21( xxx =214141 （ 5） xxx dlne1答案： (+) xln x (-) x122x 原式 = ee x d xxx112 21ln21 = )1(41412 2122 exe e （ 6） xx x d)e1(40 答案： 原式 = 404 dxxe x又 (+)x xe 9 (-)1 - xe (+)0 xe 40 40)( xxx exedxxe= 15 4 e 故：原式 = 455 e 作业三 （一）填空题 1.设矩阵161223235401A ，则 A 的元素 _23 a .答案： 3 2.设 BA, 均为 3 阶矩阵，且 3 BA ，则 TAB2 = _ . 答案： 72 3. 设 BA, 均为 n 阶矩阵，则等式 222 2)( BABABA 成立的充分必要条件是 .答案： BAAB 4. 设 BA, 均为 n 阶矩阵， )( BI 可逆，则矩阵 XBXA 的解 _ _ _ _ _ _ _ _ _X .答案：ABI 1)( 5. 设矩阵300020001A ，则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 A .答案：31000210001A（二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（ C ） A若 BA, 均为零矩阵，则有 BA B若 ACAB ，且 OA ，则 CB C 对角矩阵是对称矩阵 D若 OBOA , ，则 OAB 2. 设 A 为 43 矩阵， B 为 25 矩阵，且乘积矩阵 TACB 有意义，则 TC 为（ A ）矩阵 A 42 B 24 C 53 D 35 3. 设 BA, 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ） A 111)( BABA ， B 111)( BABA C BAAB D BAAB 10 4. 下列矩阵可逆的是 （ A ） A300320321B 321101101C 00 11D 22 115. 矩阵444333222A 的秩是（ B ） A 0 B 1 C 2 D 3 三、解答题 1计算 （ 1） 01 1035 12= 53 21（ 2） 00 1130 20 00 00（ 3） 21034521 =0 2计算723016542132341421231221321解 72301654274001277197723016542132341421231221321= 1423011121553设矩阵110211321B110111132，A ，求 AB 。 解 因为 BAAB 11 221 22)1()1(01021123211011113232 A 01101-1-0321110211321B 所以 002 BAAB 4设矩阵01112421A ，确定 的值，使 )(Ar 最小。 解： 74041042141074042101112421)1()2( ），（ A 4900410421)4( 所以当49时，秩 )(Ar 最小为 2。 5求矩阵32114024713458512352A 的秩。 答案： 解： )4()2()5()(3211412352345850247132114024713458512352A ， )3()3(361527036152701259002471361527012590361527002471 ），（ 00000000001259002471所以秩 )(Ar =2。 12 6求下列矩阵的逆矩阵： （ 1）111103231A 答案 解： 101340013790001231100111010103001231)1(3IA 19431910009131971003103101101340091319710001231)4(3)91( 943100732010311001194319100732010311001973所以9437323111A 。 （ 2） A =1121243613 答案 解： 10011201012470141110011201012400136137IA 13027101512810701411130271028141520701411)2(4 2101001720100310012101001512810811401)8(4)1( 所以2101720311A 。 13 7设矩阵 32 21,53 21 BA，求解矩阵方程 BXA 答案： 1 BAX 1310 01211310 01211053 0121 )1()3( IA 1310 2501)2( 13 251A 11 0113 2532 211BAX四、证明题 1试证：若 21,BB 都与 A 可交换，则 21 BB ， 21BB 也与 A 可交换。 证明： ABAB 11 ， ABAB 22 ABBABABABABBBA )()( 21212121 ABBABBABBBABBBA )()( 2121212121 即 21 BB ， 21BB 也与 A 可交换。 2试证：对于任意方阵 A ， TAA ， AAAA TT , 是对称矩阵。 证明： TTTTTTT AAAAAAAA )()( TTTTTT AAAAAA )()()( AAAAAA TTTTTT )()()( TAA ， AAAA TT , 是对称矩阵。 3设 BA, 均为 n 阶对称矩阵，则 AB 对称的充分必要条件是： BAAB 。 证明：充分性 AAT ， BBT ， ABAB T )( BAABABAB TTT )( 必要性 14 AAT ， BBT ， BAAB ABBABAAB TTTT )()( 即 AB 为对称矩阵。 4设 A 为 n 阶对称矩阵， B 为 n 阶可逆矩阵，且 TBB 1 ，证明 ABB1 是对称矩阵。 证明： AAT ， TBB 1 ABBBABBABBABABB TTTTT 11111111 )()()()( 即 ABB1 是对称矩阵。 作业（四） （一）填空题 1.函数xxxf 1)( 在区间 _ 内是单调减少的 .答案： )1,0()0,1( 2. 函数 2)1(3 xy 的驻点是 _ ，极值点是 ，它是极 值点 . 答案： 1,1 xx ，小 3.设某商品的需求函数为 2e10)( ppq ，则需求弹性 pE.答案： p2 4.行列式 _111111111D .答案： 4 5. 设线性方程组 bAX ，且010023106111tA ，则 _t 时，方程组有唯一解 .答案： 1 （二）单项选择题 1. 下列函数在指定 区间 ( , ) 上单调增加的是 （ B ） A sinx B e x C x 2 D 3 x 2. 已知需求函数 ppq 4.02100)( ，当 10p 时，需求弹性为（ C ） A 2ln24 4 p B 2ln4 C 2ln4- D 2ln24- 4 p 3. 下列积分计算正确的是（ A ） A 11 0d2ee xxx B 11 0d2ee xxx 15 C 0dsin11 xxx-D 0)d(311 2 xxx-4. 设线性方程组 bXAnm 有无穷多解的充分必要条件是（ D ） A mArAr )()( B nAr )( C nm D nArAr )()( 5. 设线性方程组33212321212 axxxaxxaxx，则方程组有解的充分必要条件是 （ C ） A 0321 aaaB 0321 aaaC 0321 aaaD 0321 aaa三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1) yxy e 答案： 原方程变形为： yxedxdy 分离变量得： dxedye xy 两边积分得： dxeyde xy )( 原方程的通解为： Cee xy （ 2）23eddyxxy x 答案： 分离变量得： dxxedyy x23 两边积分得： dxxedyy x23 原方程的通解为： Cexey xx 3 2. 求解下列一阶线性微分方程： （ 1） 3)1(12 xyxy答案： 原方程的通解为： )1()1( 3)1(12)1(1231212 CdxxeeCdxxeey xdxxdxdxxdxx )1()1()1()1( 3223)1l n ()1l n ( 22 CdxxxxCdxxee xx )21()1()1()1( 222 CxxxCdxxx （ 2） xxxyy 2sin2答案： 原方程的通解为： 16 )2s i n2()2s i n2( 11 Cxd xxeeCxd xxeey xxdxdx 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) yxy 2e , 0)0( y 答案： 原方程变形为： yxedxdy 2分离变量得： dxedye xy 2 两边积分得： dxedye xy 2 原方程的通解为： Cee xy 221将 00 yx ， 代入上式得：21C则原方程的特解为：2121 2 xy ee(2) 0e xyyx , 0)1( y 答案： 原方程变 形为：xyxyxe1 原方程的通解为： )(1)()( lnln11 1 CdxexCdxxeeeCdxxeeey xxxxxdxxdxx )(1 Cex x 将 01 yx ， 代入上式得： eC 则原方程的特解为： )(1 eexy x 4.求解下列线性方程组的一般解： （ 1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案： 原方程的系数矩阵变形过程为： 000011101201111011101201351223111201)2( A 由于秩 ( A )=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： 432431 2 xxx xxx （其中 43 xx， 为自由未知量）。 17 （ 2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx答案： 原方程的增广矩阵变形过程为： 51147111112241215114712412111112),( A 000003735024121373503735024121)1()2( 000005357531054565101000005357531024121)2()51(由于秩 ( A )=2n=4，所以原方程有无穷多解，其一般解为： 432431575353565154xxxxxx（其中43 xx，为自由未知量）。 5.当 为何值时，线性方程组 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。 答案： 原方程的增广矩阵变形过程为： 141826203913103913102451110957332231131224511)7()3()2(A 800000000039131015801)2()1(所以当 8 时，秩 (A )=2n=4，原方程有无穷多解，其一般解为： 18 432431 9133 581 xxx xxx 5 ba, 为何值时，方程组 baxxxxxxxxx3213213213221答案：当 3a 且 3b 时，方程组无解； 当 3a 时，方程组有唯一解； 当 3a 且 3b 时，方程组无穷多解。 原方程的增广矩阵变形过程为： 3300112011111140112011113122111111)2()1()1(bababaA 讨论：（ 1）当 ba ，3 为实数时 ， 秩 (A )=3=n=3，方程组有唯一解； （ 2）当 33 ba ， 时，秩 (A )=2n=3，方程组有无穷多解； （ 3）当 33 ba ， 时，秩 (A )=3秩 (A )=2，方程组无解； 6求解下列经济应用问题： （ 1）设生产某种产品 q 个单位时的成本函数为： qqqC 625.01 0 0)( 2 （万元） , 求： 当 10q 时的总成本、平均成本和边际成本； 当产量 q 为多少时，平均成本最小？ 答案： 平均成本函数为： 625.01 0 0)()( qqq qCqC（万元 /单位） 边际成本为： 65.0)( qqC 当 10q 时的总成本、平均成本和边际成本分别为： )(1851061025.0100)10( 2 元C 5.1861025.010100)10( C（万元 /单位） 116105.0)10( C （万元 /单位） 由 平均成本函数求导得： 25.01 0 0)(2 qqC 19 令 0)( qC 得唯一驻点 201 q（个）， 201