山东省临沂市郯城一中高一数学3月竞赛试题新人教A版.doc

高一竞赛选拔试题（数学）一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 2. 3. 4. 5. a.不存在 b.有且只有两条 c.有且只有三条 d.有无数条 6. 7.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线互相垂直的概率是（ ）8. 用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于的概率是（ ）9.在样本的频率分布直方图中，一共有个小矩形。若中间一个小矩形的面积等于其余 个小矩形面积之和的，且样本容量为240，则中间一组的频数是（ ） a. 32 b. 30 c. 60 d. 4010. 11.某店一个月的收入和支出总共记录了n个数据中a1,a2,an,其中收入记为正数,支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入s和月净盈利v,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的()a.a0,vst b.a0,vst c.a0,vs+t d.a0,vs+t12 a. 16 b. 32 c.17 d.34 二 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 14.两街道相交的点 称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2）， （3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售点。请确定一个格点 为发行站，使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短。 15.连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦ab、cd的长度分别等于2、4，m、n分别为ab、cd的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦ab、cd可能相交于点m 弦ab、cd可能相交于点nmn的最大值为5 mn的最小值为l其中真命题的序号为16. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时而终止。每个球在每一次被取到的机会是等可能的。则甲取到白球的概率是 三.解答题：（17题21题每题12分，22题14分） 17. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。 （）当，求函数的表达式； （）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时） 18. （本小题满分12分） 19.如图，在棱长为的正方体中， （1）作出面与面的交线，判断与线位置关系，并给出证明；（2）证明面；（3）求线到面的距离；来源: （4）若以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，试写出两点的坐标. 20.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。 21.如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片abcd的长为2，宽为1.点a与坐标原点重合，ab、ad边分别在x轴、y轴的正半轴上.将矩形纸片沿直线折叠一次，使点a落在边cd上，记为点.（1）如果点与点d重合，写出折痕所在直线的方程；（2）如果点是与点d不重合，且ad的外接圆与直线bc相切，求这个外接圆的方程.22.已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m（1）求，的值；（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m高一竞赛选拔试题数学参考答案一、选择题123456789101112cacddbabdacb2、 填空题13. ； 14. (3 , 3); 15. ; 16. .三解答题17：解：（）由题意：当时，=60，当时，设。再由已知得：解得：故函数的表达式为 （）由题意及（）可得：当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当时，等号成立。所以，当时，在区间上取得最大值。综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。18：19：解：（1）在面内过点作的平行线，易知即为直线， ，. 证明：（2）易证面，同理可证， 又=，面. 解：（3）线到面的距离即为点到面的距离，也就是点到面的距离，记为，在三棱锥中有，即，.解：（4）20：解 （）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。（）有统计图知，样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170180cm之间的概率（）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为 样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率21：（1）折痕所在直线的方程是.（2）设点a的坐标是（a，1）则线段aa的中点e坐标是（， ），aa=，的外接圆圆心是e，半径是， 的外接圆的方程是.当的外接圆与直线bc相切时，点e到bc的距离等于，又点e到bc的距离是2-，=2-，解得，所求圆的方程是.22：解：（1），且在区间0,2时由得（2）若，则 当时，若，则 若，则 当时，,当时，由二次函数的图象可知，