云南省玉溪一中高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

云南省玉溪一中2014-2015学 年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集u=r，集合a=x|（）x2，b=y|y=lg（x2+1），则（ua）b=（）a x|x1或x0b （x，y）|x1，y0c x|x0d x|x12复数z=1i，则对应的点所在象限为（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限3把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得到y=（sin3xcos3x）的图象，这个变化可以是（）a 沿x轴方向向右平移b 沿x轴方向向左平移c 沿x轴方向向右平移d 沿x轴方向向左平移4已知函数，则f（f（f（1）的值等于（）a 21b 2+1c d 05数列an中，已知a1=1，a2=2，an+2=an+1an（nn*），则a2015=（）a 1b 1c 2d 26某高三学生进入高中三年来的第1次至14次数学考试成绩分别为：79，83，93，86，99，98，94，88，98，91，95，103，101，114，依次记为a1，a2，a14如图是成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么输出的结果是（）a 8b 9c 10d 117设m（x0，y0）为抛物线c：x2=8y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是（）a （0，2）b 0，2c （2，+）d 2，+）8如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）a 15b 16c 17d 189在锐角abc中，若c=2b，则的范围（）a b c （0，2）d 10如图，在等腰梯形abcd中，ab=2dc=2，dab=60，e为ab的中点，将ade与bec分别沿ed、ec向上折起，使a、b重合于点p，则pdce三棱锥的外接球的体积为（）a b c d 11设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xr都有f（x）f（x）成立，则（）a 3f（ln2）2f（ln3）b 3f（ln2）=2f（ln3）c 3f（ln2）2f（ln3）d 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定12如图，f1、f2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过f1的直线l与c的左、右2个分支分别交于点a、b若abf2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）a 4b c d 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知|=2，|=3，（）（+）=1，则与的夹角为14在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为15若a=cosxdx，则二项式（a）4的展开式中的常数项为16若sinx+siny=，则t=sinxcos2y的最大值为三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为sn，且满足an+2snsn1=0（n2，且nn），a1=（1）求证：是等差数列；（2）若bn=snsn+1，求数列bn的前n项和为tn18经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过1.0ppm（）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望e19如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，pa底面abcd，e、f分别为ab、pc的中点（）求证：ef平面pad；（）若pa=2，试问在线段ef上是否存在点q，使得二面角qapd的余弦值为？若存在，确定点q的位置；若不存在，请说明理由20已知椭+=1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），直线l：y=kx与椭圆相交于不同的两点a、b（1）若|ab|=，求k的值；（2）求证：不论k取何值，以ab为直径的圆恒过点m21已知函数f（x）=lnxax（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间1，e上的最大值为2，求a的值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22如图所示，pa为圆o的切线，a为切点，po交于圆o与b，c两点，pa=10，pb=5，bac的角平分线与bc和圆o分别交于点d和e（）求=；（）求adae的值【选修4-4：坐标系与参数方程】23（2015江西模拟）在平面直角坐标系x oy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以原点 o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆c的方程为（）写出直线l的普通方程和圆c的直角坐标方程；（）若点 p坐标为，圆c与直线l交于 a，b两点，求|pa|+|pb|的值【选修4-5：不等式选讲】24（2015兰州校级三模）若实数a，b满足ab0，且a2b=4，若a+bm恒成立（）求m的最大值；（）若2|x1|+|x|a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围云南省玉溪一中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集u=r，集合a=x|（）x2，b=y|y=lg（x2+1），则（ua）b=（）a x|x1或x0b （x，y）|x1，y0c x|x0d x|x1考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：由全集u=r，集合=x|x1，得到cua=x|x1，再由b=y|y=lg（x2+1）=y|y0，能求出（cua）b解答：解：全集u=r，集合=x|x1，cua=x|x1，b=y|y=lg（x2+1）=y|y0，（cua）b=x|x|x0故选c点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2复数z=1i，则对应的点所在象限为（）a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则及其几何意义即可得出解答：解：复数z=1i，=2i=，其对应的点所在象限为第四象限故选d点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得到y=（sin3xcos3x）的图象，这个变化可以是（）a 沿x轴方向向右平移b 沿x轴方向向左平移c 沿x轴方向向右平移d 沿x轴方向向左平移考点：函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：函数y=（sin3xcos3x）=sin（3x）=sin3（x），把函数y=sin3x的图象沿x轴方向向右平移个单位，可得y=（sin3xcos3x）的图象，故选：c点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题4已知函数，则f（f（f（1）的值等于（）a 21b 2+1c d 0考点：函数的值专题：计算题分析：根据分段函数的定义域，求出f（1）的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；解答：解：函数，f（1）=2+10，f（f（1）=0，可得f（0）=，f（f（f（1）=，故选c；点评：此题主要考查函数值的求解，是一道基础题；5数列an中，已知a1=1，a2=2，an+2=an+1an（nn*），则a2015=（）a 1b 1c 2d 2考点：数列递推式专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由a1=1，a2=2，an+2=an+1an可判断数列an的周期为6，从而求得解答：解：a1=1，a2=2，an+2=an+1an，a3=a2a1=21=1，a4=a3a2=12=1，a5=a4a3=11=2，a6=a5a4=2（1）=1，a7=a6a5=1（2）=1，a8=a7a6=1（1）=2，数列an的周期为6，且2015=3356+5，a2015=a5=2；故选c点评：本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用，属于中档题6某高三学生进入高中三年来的第1次至14次数学考试成绩分别为：79，83，93，86，99，98，94，88，98，91，95，103，101，114，依次记为a1，a2，a14如图是成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么输出的结果是（）a 8b 9c 10d 11考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合已知即可得答案解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据已知可得超过90分的人数为10个故选：c点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题7设m（x0，y0）为抛物线c：x2=8y上一点，f为抛物线c的焦点，以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是（）a （0，2）b 0，2c （2，+）d 2，+）考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：由条件|fm|4，由抛物线的定义|fm|可由y0表达，由此可求y0的取值范围解答：解：由条件|fm|4，由抛物线的定义|fm|=y0+24，所以y02故选c点评：本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理8如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）a 15b 16c 17d 18考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离；立体几何分析：如图，可跟据题意得到该几何体的直观图，然后利用切割的方法求其体积解答：解：由题意，在长方体abcdabcd中，由题意可得到所求几何体的几何直观图由题意可知：多面体addefc即为所求的几何体由题意作emdc于m，则由已知得mc=1，em=3fm=3，dm=3则v=v三棱柱addfme+v三棱锥efmc=semfdm=故选a点评：本题考查了三视图的识图问题，体积以及表面积的计算问题，属于中档题9在锐角abc中，若c=2b，则的范围（）a b c （0，2）d 考点：正弦定理；函数的值域专题：计算题分析：由正弦定理得，再根据abc是锐角三角形，求出b，cosb的取值范围即可解答：解：由正弦定理得，abc是锐角三角形，三个内角均为锐角，即有 ，0cb=3b解得，又余弦函数在此范围内是减函数故cosb故选a点评：本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是b角的范围确定不准确10如图，在等腰梯形abcd中，ab=2dc=2，dab=60，e为ab的中点，将ade与bec分别沿ed、ec向上折起，使a、b重合于点p，则pdce三棱锥的外接球的体积为（）a b c d 考点：球内接多面体；球的体积和表面积专题：计算题；综合题；压轴题分析：判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积解答：解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选c点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题11设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xr都有f（x）f（x）成立，则（）a 3f（ln2）2f（ln3）b 3f（ln2）=2f（ln3）c 3f（ln2）2f（ln3）d 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案解答：解：令g（x）=，则g（x）=，因为对任意xr都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在r上单调递减，又ln2ln3，所以g（ln2）g（ln3），即 ，所以 ，即3f（ln2）2f（ln3），故选：a点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性12如图，f1、f2是双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，过f1的直线l与c的左、右2个分支分别交于点a、b若abf2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）a 4b c d 考点：双曲线的简单性质专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的定义可得可得|af1|af2|=2a，|bf2|bf1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|ab|=|af2|=|bf2|，在af1f2中使用余弦定理可得：=，再利用离心率的计算公式即可得出解答：解：abf2为等边三角形，|ab|=|af2|=|bf2|，由双曲线的定义可得|af1|af2|=2a，|bf1|=2a又|bf2|bf1|=2a，|bf2|=4a|af2|=4a，|af1|=6a在af1f2中，由余弦定理可得：=，化为c2=7a2，=故选b点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知|=2，|=3，（）（+）=1，则与的夹角为120考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题分析：设与的夹角为，由条件可得 223=1，解得 cos=，再由 0180，可得 的值解答：解：已知|=2，|=3，（）（+）=1，设与的夹角为，则有 223=818323cos=1，解得 cos=，再由 0180可得=120，故答案为 120点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题14在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，由三角形的面积等于16列式求得a的值解答：解：由约束条件作出可行域如图，图中阴影部分为等腰直角三角形，解得：a=2故答案为：2点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15若a=cosxdx，则二项式（a）4的展开式中的常数项为24考点：定积分；二项式系数的性质专题：二项式定理分析：运用积分公式得出a=2，二项式（2）4的展开式中项为：tr+1=24r（1）x2r，利用常数项特征求解即可解答：解：a=cosxdx=sinx=sinsin（）=2a=2二项式（2）4的展开式中项为：tr+1=24r（1）x2r，当2r=0时，r=2，常数项为：41=64=24故答案为：24点评：本题考察了积分与二项展开式定理，属于难度较小的综合题，关键是记住公式16若sinx+siny=，则t=sinxcos2y的最大值为考点：同角三角函数基本关系的运用专题：三角函数的求值分析：由已知等式表示出sinx，代入所求式子中利用同角三角函数间基本关系化简，设siny=m，1，得到t关于m的二次函数，结合二次函数性质及m的范围求出t的最大值即可解答：解：cos2y=1sin2y，sinx=siny，t=sinxcos2y=siny（1sin2y）=sin2ysiny，令siny=m，1，则t=m2m=（m）2，m，1，当m=时，t取得最大值，最大值为，则t=sinxcos2y的最大值为，故答案为：点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an的前n项和为sn，且满足an+2snsn1=0（n2，且nn），a1=（1）求证：是等差数列；（2）若bn=snsn+1，求数列bn的前n项和为tn考点：数列的求和；等差关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）当n2时，an=snsn1，由于满足an+2snsn1=0（n2，且nn），可得snsn1+2snsn1=0，两边同除以snsn1，化为=2，即可证明；（2）由（1）可得=2+2（n1）=2n，可得bn=snsn+1=利用“裂项求和”即可得出解答：（1）证明：当n2时，an=snsn1，满足an+2snsn1=0（n2，且nn），snsn1+2snsn1=0，化为=2，=2，是等差数列（2）解：由（1）可得=2+2（n1）=2n，bn=snsn+1=数列bn的前n项和为tn=+=点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过1.0ppm（）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图专题：概率与统计分析：（）根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率（）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，可能取0，1，2，3分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望解答：（本小题满分13分）解：（）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件a，则，15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为（4分）（）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，（5分）可能取0，1，2，3（6分）则，（10分）的分布列如下：0123p（12分）（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用19如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，pa底面abcd，e、f分别为ab、pc的中点（）求证：ef平面pad；（）若pa=2，试问在线段ef上是否存在点q，使得二面角qapd的余弦值为？若存在，确定点q的位置；若不存在，请说明理由考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取pd中点m，连接mf、ma，通过中位线定理可得efam，利用线面平行的判定定理即得结论；（）以点a为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面pad的法向量与平面paq的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可解答：证明：（）取pd中点m，连接mf、ma，在pcd中，f为pc的中点，mf，正方形abcd中e为ab中点，ae，aemf，故四边形efma为平行四边形，efam，又ef平面pad，am平面pad，ef平面pad；（）结论：满足条件的q存在，是ef中点理由如下：如图：以点a为坐标原点建立空间直角坐标系，则p（0，0，2），b（0，1，0），c（1，1，0），e（0，0），f（，1），由题易知平面pad的法向量为=（0，1，0），假设存在q满足条件：设=，=（，0，1），q（，），=（，），0，1，设平面paq的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，0），=，由已知：=，解得：，所以满足条件的q存在，是ef中点点评：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题20已知椭+=1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），直线l：y=kx与椭圆相交于不同的两点a、b（1）若|ab|=，求k的值；（2）求证：不论k取何值，以ab为直径的圆恒过点m考点：直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由椭圆+=1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），可得，b=1，又a2=b2+c2，联立解得即可得到椭圆的方程利用根与系数的关系及其弦长公式即可得出（2）取k=0时，解得a，b可得以线段ab为直径的圆的方程为可知：此圆过点（0，1）猜想以ab为直径的圆恒过点m（0，1）利用数量积运算性质只有证明=0即可解答：解：（1）椭圆+=1（ab0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），b=1，又a2=b2+c2，联立解得b=1=c，a=椭圆的方程为：=1联立，化为（9+18k2）x212kx16=0，0，x1+x2=，x1x2=|ab|=，|ab|=，化为23k413k210=0，解得k=1（2）取k=0时，解得a，b可得以线段ab为直径的圆的方程为可知：此圆过点（0，1）猜想以ab为直径的圆恒过点m（0，1）下面给出证明：=（x1，y11）（x2，y21）=x1x2+（y11）（y21）=（1+k2）x1x2=+=0，因此以ab为直径的圆恒过点m（0，1）点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系及弦长公式、数量积运算性质与向量垂直的关系，考查了猜想能力与推理能力、计算能力，属于难题21已知函数f（x）=lnxax（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间1，e上的最大值为2，求a的值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）求出当a=1时，f（x）的解析式和导数，求出切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（2）求出导数，讨论当a0，分若1，若e，若1e，当a0时，通过函数的单调性，得到函数的最大值，解出即可得到a的值解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnxx，导数f（x）=1，曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为f（1）=0，又切点为（1，1），则切线方程为：y=1；（2）定义域为（0，+），f（x）=a=，若a0时，由f（x）0，得0x，f（x）0，得x，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减若1，即a1时，f（x）在1，e单调递减，f（x）max=f（1）=a=2，a=2不成立；若e，即0a时，f（x）在1，e单调递增，f（x）max=f（e）=1ae=2，a=不成立；若1e，即时，f（x）在（1，）单调递增，在（，e）单调递减，f（x）max=f（）=1lna=2，解得，a=e3，不成立当a0时，f（x）0恒成立，则有f（x）在1，e递增，则有f（e）最大，且为1ae=2，解得a=综上知，a=点评：本题考查导数知识的运用，考查求切线方程和函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22如图所示，pa为圆o的切线，a为切点，po交于圆o与b，c两点，pa=10，pb=5，bac的角平分线与bc和圆o分别交于点d和e（）求=；（）求adae的值考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质专题：选作题；立体几何分析：（）证明pabpca，可得=；（）由切割线定理求出pc=40，bc=30，由已知条件条件推导出aceadb，由此能求出adae的值解答：解：（）pa为圆o的切线，pab=acp，又p为公共角，pabpca，（4分）（）pa为圆o的切线，bc是过点o的割线，pa2=pbp