高考数学二轮复习 第一部分 方法、思想解读 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想（2）课件 理.ppt

二 转化与化归思想 2 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位 数学问题的解决 离不开转化与化归 如未知向已知的转化 新知识向旧知识的转化 复杂问题向简单问题的转化 不同数学问题之间的互相转化 实际问题向数学问题的转化等 3 1 转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段将问题通过变换使之转化 进而得到解决的一种思想方法 2 转化与化归的原则 1 熟悉化原则 2 简单化原则 3 直观化原则 4 正难则反原则 5 等价性原则 3 常见的转化与化归的方法 1 直接转化法 2 换元法 3 数形结合法 4 构造法 5 坐标法 6 类比法 7 特殊化方法 8 等价问题法 9 补集法 4 应用一 应用二 应用三 应用四 应用一特殊与一般的转化 5 应用一 应用二 应用三 应用四 思维升华1 当问题难以入手时 应先对特殊情形进行观察 分析 发现问题中特殊的数量或关系 再推广到一般情形 以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡 这就是特殊化的化归策略 2 数学题目有的具有一般性 有的具有特殊性 解题时 有时需要把一般问题化归为特殊问题 有时需要把特殊问题化归为一般问题 6 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练1在定圆c x2 y2 4内过点p 1 1 作两条互相垂直的直线与c分别交于a b和m n 则的取值范围是 7 应用一 应用二 应用三 应用四 应用二命题的等价转化例2若函数f x 1 x2 x2 ax b 的图象关于直线x 2对称 则f x 的最大值为16 转化一若只根据f x 图象关于直线x 2对称 得零点对称 条件转化为f 1 f 3 f 1 f 5 解得a 8 b 15 其余由求导完成 恐有因式分解的障碍 转化二由于函数y f x 的图象关于y轴对称 当x取一对相反数时 函数值不变 将函数y f x 的图象向左平移2个单位 得函数y f x 2 的图象关于直线x 2对称 当 x 2 取一对相反数时 函数值不变 于是 函数的解析式只能含 x 2 的偶次方 8 应用一 应用二 应用三 应用四 解析 法一 函数f x 的图象关于直线x 2对称 f 1 f 3 f 1 f 5 f x x4 8x3 14x2 8x 15 由f x 4x3 24x2 28x 8 0 f 2 1 2 2 2 2 8 2 15 3 4 16 15 9 9 应用一 应用二 应用三 应用四 故f x 的最大值为16 法二 据已知可设f x x 2 4 m x 2 2 n 据f 1 f 1 0 解出m 10 n 9 则f x x 2 4 10 x 2 2 9 x 2 2 5 2 16 故最大值为16 思维升华将已知条件进行转换 有几种转换方法就有可能得出几种解题方法 10 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练2若关于x的方程9x 4 a 3x 4 0有解 则实数a的取值范围是 8 解析 法一 设t 3x 则原命题等价于关于t的一元二次方程t2 4 a t 4 0有正解 所以a 8 即实数a的取值范围是 8 11 应用一 应用二 应用三 应用四 法二 设t 3x 得t2 4 a t 4 0 所以a 8 即实数a的取值范围是 8 12 应用一 应用二 应用三 应用四 应用三常量与变量的转化例3已知函数f x x3 3ax 1 g x f x ax 5 其中f x 是f x 的导函数 对满足 1 a 1的一切a的值 都有g x 0 则实数x的取值范围为 13 应用一 应用二 应用三 应用四 解析 由题意 知g x 3x2 ax 3a 5 令 a 3 x a 3x2 5 1 a 1 对 1 a 1 恒有g x 0 即 a 0 思维升华在处理多变量的数学问题时 当常量 或参数 在某一范围取值时 求变量x的范围时 经常进行常量与变量之间的转化 即可以选取其中的参数 将其看做是变量 而把变量看做是常量 从而达到简化运算的目的 14 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练3设f x 是定义在r上的增函数 若f 1 ax x2 f 2 a 对任意a 1 1 恒成立 则x的取值范围为 1 3 解析 因为f x 是r上的增函数 所以1 ax x2 2 a a 1 1 式可化为 x 1 a x2 1 0对a 1 1 恒成立 令g a x 1 a x2 1 解得x 0或x 1 即实数x的取值范围是 1 0 15 应用一 应用二 应用三 应用四 应用四函数 方程与不等式之间的转化例4关于x的不等式x 1 a2 2a 0对x 0 恒成立 则实数a的取值范围为 1 0 思维升华函数 方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系 解决方程 不等式的问题需要函数帮助 解决函数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助于函数 方程 不等式之间的转化可以将问题化繁为简 常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题 将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题 将方程的求解问题转化为函数的零点问题 两个函数图象的交点问题等 16 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练4已知函数f x 3e x 若存在实数t 1 使得对任意的x 1 m m z 且m 1 都有f x t 3ex 求m的最大值 解因为当t 1 且x 1 m 时 x t 0 所以f x t 3ex ex t ex t 1 lnx x 所以原命题等价转化为 存在实数t 1 使得不等式t 1 lnx x对任意x 1 m 恒成立 所以函数h x 在 1 内为减函数 又x 1 m 所以h x min h m 1 lnm m 所以要使得对任意x 1 m t值恒存在 只需1 lnm m 1 17 应用一 应用二 应用三 应用四 且函数h x 在 1 内为减函数 所以满足条件的最大整数m的值为3 18 1 在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时 没有一个统一的模式 它可以在数与数 形与形 数与形之间进行转换 2 转化与化归思想在解题中的应用 1 在三角函数和解三角形中 主要的方法有公式的 三用 顺用 逆用 变形用 角度的转化 函数的转化 通过正弦 余弦定理实现边角关系的相互转化 2 在解决平面向量与三角函数 平面几何