高中数学 第4章 导数应用章末高效整合课件 北师大版选修11.ppt

章末高效整合 知能整合提升 1 导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤 1 求导数f x 2 解不等式f x 0或f x 0 3 写出单调增区间或减区间 特别注意写单调区间时 区间之间用 和 或 隔开 绝对不能用 连接 2 导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 解方程f x 0的根 3 检验f x 0的根的两侧的f x 的符号 若左正右负 则f x 在此根处取极大值 若左负右正 则f x 在此根处取得极小值 否则此根不是f x 的极值点 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最大值 最小值的方法与步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将 1 求得的极值与f a f b 相比较 其中最大的一个值为最大值 最小的一个值为最小值 特别地 当f x 在 a b 上单调时 其最小值 最大值在区间端点取得 当f x 在 a b 内只有一个极值点时 若在这一点处f x 有极大 或极小 值 则可以判断f x 在该点处取得最大 或最小 值 这里 a b 也可以是 4 导数的实际应用利用导数求实际问题的最大 小 值时 应注意的问题 1 求实际问题的最大 小 值时 一定要从问题的实际意义去考查 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 由f x 0常常仅解到一个根 若能判断函数的最大 小 值在x的变化区间内部得到 则这个根处的函数值就是所求的最大 小 值 热点考点例析 在某个区间 a b 内 如果f x 0 则f x 在这个区间上为增函数 如果f x 0 则f x 在这个区间上为减函数 应注意 在区间内f x 0 或f x 0 是f x 在这个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 而不是必要条件 利用导数研究函数的单调性 函数的最值是函数的整体性质 要区别于函数的极值 求函数在闭区间上的最值 应先求开区间的极值 再与闭区间的端点值进行比较 最大的为最大值 最小的为最小值 反过来 已知最值时 要能求相应参数及与最值有关的其他问题 利用导数研究函数的极值和最值 函数f x x3 ax2 bx c 过曲线y f x 上的点p 1 f 1 的切线方程为y 3x 1 1 若y f x 在x 2时有极值 求f x 的表达式 2 在 1 的条件下 求y f x 在 3 1 上的最大值 思维点击 1 由切线方程可得f 1 4 f 1 3 又y f x 在x 2时有极值 所以f 2 0 构造三个方程求三个系数a b c 2 求导 求极值 列表求最值 2 已知函数f x x3 3x2 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 解析 对函数f x 可导 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 对a分四种情况讨论 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上可得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 已知函数f x 2x3 x2 ax b 1 若函数f x 的图像上有与x轴平行的切线 求参数a的取值范围 2 若函数f x 在x 1处取得极值 且x 1 2 时 f x b2 b恒成立 求参数b的取值范围 思维点击 由 1 f x 0有解 利用 0可求a的取值范围 2 首先求出函数在 1 2 上的最大值 通过解不等式f x max b2 b求出b 3 已知a为实数 f x x2 4 x a f x 为f x 的导函数 1 若f 1 0 求f x 在 2 2 上的最大值和最小值 2 若f x 在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 利用导数求实际问题的最大 小 值时 应注意的问题 1 求实际问题的最大 小 值时 一定要从问题的实际意义去考查 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 由f x 0常常仅解到一个根 若能判断函数的最大 小 值在x的变化区间内部得到 则这个根处的函数值就是所求的最大 小 值 导数的实际应用 已知a b两地相距200千米 一只船从a地逆水而行到b地 水速为8千米 小时 船在静水中的速度为v千米 小时 8 v v0 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 当v 12千米 小时时 每小时的燃料费为720元 为了使全程燃料费最省 船的静水速度为多少 思维点击 先求出燃料费与静水中速度的平方的比例系数 然后列出全程燃料费与v的函数关系式 再利用导数求最值 4 某造船公司年造船量是20艘 已知造船x艘的产值函数为r x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为c x 460 x 5000 单元 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数mf x 定义为mf x f x 1 f x 1 求利润函数p x 及边际利润函数mp x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数mp x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么 解析 1 p x r x c x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x n 且1 x 20 mp x p x 1 p x 30 x2 60 x 3275 x n 且1 x 19 2 p x 30 x2 90 x 3240 30 x 12 x 9 x 0 p x 0时 x 12 当00 当x 12时 p x 0 x 12时 p x 有最大值 即年造船量安排12艘时 可使公司造船的年利润最大 3 mp x 30 x2 60 x 3275 30 x 1 2 3305 所以 当x 1时 mp x 单调递减 所以单调减区间为 1 19 且x n mp x 是减函数的实际意义 随着产量的增加 每艘利润与前一艘利润比较 利润在减少 1 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx 2在x 1处有极值 则ab的最大