【解析版】2015中考压轴题系列12_函数之二次函数几何应用问题.doc

中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题，主要是解答题，常见问题有以三角形为背景问题，以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。一. 以三角形为背景问题原创模拟预测题1. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为斜边的等腰直角三角形ABC的顶点C的坐标为 .【答案】（3，7）或（3，1）。【考点】二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用。CD=AD=3，且CDAB。若点C在AB上方，则C1（3，7）；若点C在AB下方，则C2（3，1）。原创模拟预测题2. 如图，抛物线的顶点为D（1，4），与轴交于点C（0，3），与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线上，EFx轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标。【答案】（1）由题意得 ，解得：，解析式的解析式为：。 （3）设E，分两种情况讨论： 若AFEACD，如图1，则，即，整理，得，解得（与点A重合，舍去），当时，。此时，点E的坐标为。 【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，分类思想的应用。原创模拟预测题3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（1.0），C（0， 3）。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：， 将C点坐标（0， 3）代入，得：，解得 。抛物线的解析式为：，即。 PN=PENE=（）（）=x23x。SPAC=SPAN+SPCN，。当x= 时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。（3）在y轴上存在点M，能够使得ADE是等腰直角三角形。理由如下：，顶点D的坐标为（1， 4）。【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。二. 以四边形为背景问题原创模拟预测题4如图，平行四边形ABCD中，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点.（1）求点的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式. 【答案】（1）A（2，0），B（6，0），C（4，8）；（2）y=-2x2+16x+8【解析】（2）由抛物线的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，把A（2，0）代入上式，解得a=-2 设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k， 把（0， 8）代入上式得k=32，原创模拟预测题5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点B。（1）若al，且抛物线与矩形有且只有三个交点B、D、E，求 BDE的面积S的最大值；（2）若抛物线与矩形有且只有三个交点B、M、N，线段MN的垂直平分线l过点C，交线段OA于点F。当AF1时，求抛物线的解析式。【答案】（1）al，。又抛物线过点B(6，3)，即。如图 ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与轴的交点应落在原点或原点下方。当x0时，y0。，即。由抛物线的对称性可知： 。 又 BDE的高BC3， S。 0， S随b的增大而减少。 当b时，S的最大值。如图 ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、AO边上时，抛物线与直线x0的交点应落在线段AO上且不与点A重合，即03。当x0，则， 03， 。 AE。 SBDAE。 0， S随b的增大而增大。 当b时，S的最大值。综上所述：S的最大值为。（2）当a0时，符合题意要求的抛物线不存在。 当a0时，符合题意要求的抛物线有两种情况： 当点M、N分别在AB、OC边上时如图 ,过M点作MG OC于点G，连接CM， MGOA32 MN90。 CF垂直平分MN CMN，1 MN=90， 1 2。 AF1，OF312。 ，。GNGM1。设N(n，0)，则G(n1，0)，M(n1，3)。 BM，CMCN。 在RtBCM中， ，解得n1。M(2，3)，N(1，0)。把M(2，3)，N(1，0)，B(6，3)分别代入，得，解得。抛物线的解析式为。设N(0，n)则FN2n，AN3一n。MF2n，AM。在RtMABF中， ，。解得： (不合题意舍去)，。AM，M(，3)，N(0，) 。把M(，3)，N(0，)， B(6，3)分别代入，得，解得。抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。三. 以圆为背景问题原创模拟预测题6. 如图，已知二次函数（m0）的图象与x轴交于A、B两点（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的M与y轴交于C、D两点，求CD的长【答案】解：（1），当y=0时，。解得x1=m，x2=3m。m0，A、B两点的坐标分别是（m，0），（3m，0）。（2）A（m，0），B（3m，0），m0，圆的半径为AB=2m。OM=AMOA=2mm=m。抛物线的顶点P的坐