（新课标）高中数学 第二章 数列（二）教学设计 新人教A版必修5.doc

（新课标）2015-2016学年高中数学 第二章 数列（二）教学设计 新人教a版必修5从容说课在上节课的内容安排的基础上，本节课安排等差数列与等比数列的综合训练，目标是使学生更熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题，提高运算速度和运算能力.教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点 解题思路和解题方法的优化.教具准备 多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题;2.提高运算速度和运算能力.二、过程与方法1.精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤;2.在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力.三、情感态度与价值观1.在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质;2.在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识.教学过程导入新课师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨.推进新课师 出示投影胶片1：例题1：【例1】 已知公差不为零的等差数列a n和等比数列b n中，a 1=b 1=1，a2=b2，a 8=b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a n=logab nb成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.合作探究师 这道题涉及到两个数列an和bn之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，b n的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于a n是等差数列，b n是等比数列，所以应该先抓住基本量a1、d和q.由已知a1=b1=1，a2=b2,a8=b3，可以列出方程组.解出d和q，则an,bn就确定了.师 如果an和bn确定了，那么an=logabnb就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是否存在呢？生 如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和b，那么解不出的原因也就是a和b不存在的理由.师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？解：设等差数列an的公差为d(d0)，等比数列b n的公比为q，则解得d=5，q=6.所以an=5n-4.而bn=6 n-1，若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有an=logabnb成立，即5n-4=loga6 n-1b,即5n-4=(n-1)loga6b,即(loga6-5)n(b-loga64)=0.对任意nn *都成立.只需成立.解得a=6,b=1.所以存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an=logab nb成立.师 本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d、公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式.an和bn确定了，其他的问题就可以迎刃而解.可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键.师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值.合作探究师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解.请学生读题，并逐句分析已知条件.生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中s 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d，x，xd,则x-dxxd=300.生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d10， x10，xd11，则(x10)2=(x-d10)(xd11).师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d.板书：解：设原计划三年的产值为x-d，x，xd，则实际三年产值为x-d10，x10，xd11.解得x=100，d=10，x-d=90,x+d=110.答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和s n，抓住基本量a1，d(q)，再调用有关的概念和公式求解.师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列an是公差不为零的等差数列，数列a kn是公比为q的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k3=17，求k 1k 2k 3kn的值.合作探究师 题目中数列ak n与an有什么关系？生 数列a k n的项是从数列an中抽出的部分项.师 由已知条件k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列an中的哪些项成等比数列？生 a1，a5，a17成等比数列.师 要求的k1k2k3kn的值，实质上求的是什么？生 实质上就是求数列kn的前n项和.师 要求kn的前n项和，就要确定数列kn的通项公式.应该从哪儿入手？生 应该从求等比数列a k n的公比入手.其公式为.师 a5，a1要由等差数列an的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d和a1了.生 如果设等差数列an的公差为d，那么a5=a14d，a17=a116d，由于a1，a5，a17成等比数列，则有(a14d)2=a1(a116d)，从而an应该可以求出了.师 请同学们把刚才的分析整理出来.(投影胶片4)解：设数列an的公差为d，d0，则a 5=a 14d，a 17=a116d.因为a 1，a5，a 17成等比数列，则(a 14d)2=a 1 (a 116d)，即2d 2=a1d.又d0，则a1=2d.所以an=a 1(n-1)d=2d(n-1)d=(n1)d.因为数列a k n的公比为q，则,所以a k n=a k13 n-1=a13n-1=2d3n-1.又a k n=(kn+1)d,则2d3 n-1(kn+1)d.由d0，知kn=23 n-1-1(nn *).因此，k 1k 2k 3kn=23 0-1231-1232-123n-1-1=2(3031323n-1)-n=2-n=3n-n-1.师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的.师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列b n是等差数列，b11，b1b2b 10145.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列a n的通项anloga(1)(其中a0且a1)，记s n是数列a n的前n项和，试比较s n与的大小，并证明你的结论.合作探究师 数列bn的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步.请同学们快速准确地求出bn.生 快速求解.(1)解：设数列b n的公差是d，由题意得b 11,10b110(10-1)d145,解得b 11,d3.b n3n-2.师 在下一个问题中，数列an与数列bn具有什么关系呢？数列an具有什么特征？生 数列an是由数列bn生成的一个新的数列？由anloga(1)loga(1+)，可知数列a n不是特殊数列.师 题中比较sn与的大小，你现在能作出预料吗？生 不能，sn是什么样子还不清楚.需要得出sn，才能进一步思考.师 那就请同学们先把sn求出来.生 写出snloga(11)loga(1)loga(1)loga (11)(1)(1).发现式中的那个积不太好处理.师 能不能现在就和联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？生 因为=loga，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小.师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法.师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题.(投影胶片6) (2)解:由b n3n-2，知snloga(11)loga(1)loga(1)loga (11)(1)(1),=loga,因此要比较sn与的大小，可先比较(11)(1)(1)与的大小.取n1，有(11),取n2，有(11)(1+),由此推测(11)(1)(1)1.(*)若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a1时，s n,当0a1时，sn.(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考)下面对(*)式加以证明：证法一：记a n(11)(1)(1)(1+)=,d n,再设,当kn时，恒成立，于是a nbncn.an3anbncn3n1dn3.a ndn,即(11)(1)(1)成立.由此证得：当a1时，s n.当0a1时，s n.证法二：,因此只需证1对任意自然数k成立,即证,也即(3k-1)3(3k1)(3k-2)2,即9k5.该式恒成立，故1.取k1，2，3，n并相乘即得a ndn.师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用.课堂小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒.布置作业1.合作探究复习参考题b组题.2.开展探究活动，思考并解答补充作业.板书设计本章复习(二)例1 典型例题剖析 例4例2 例3习题详解(课本第75页复习参考题)b组1.（1）b；（2）d.2.（1）不成等差数列.可以从图象上解释.a,b,c成等差数列，则通项公式为y=pn+q的形式，且a,b,c位于同一直线上，而, ,的通项公式却是的形式，, , 不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列.因为a,b,c成等比，有b2=ac，又由于a,b,c非零，两边同时取倒数，则有，所以, ,也成等比数列.3.体积分数：0.033(1+25%)60.126，质量分数：0.05(1+25%)60.191.4.设工作时间为n，三种付费方式的前n项和分别为an,bn,cn，第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也是4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列，则an=38n；bn=4n+4=2n2+2n；cn= =0.4(2n-1).下面考察an,bn,cn,看出n10时,38n0.4(2n-1).因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.n10时，ancn,bncn,因此，选用第三种付费方式.5.第一个星期选择a种菜的人数为a，即a1=a，选择b种菜的人数为b1=500-a，所以有以下关系式:a2=a180%+b130%，a3=a280%+b230%,an=a n-180%+b n-130%，an+bn=500,所以an=150+an-1,bn=500-an=350- an-1.如果a1=300,则a2=300,a3=300,a10=300.6.略7.设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，2002年底剩余资金是1 000(1+50%)-x，2003年底剩余资金是1 000(1+50%)-x(1+50%)-x,1 000(1+50%)2-(1+50%)x-x,5年后达到资金1 000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x-(1+50%)2x-(1+50%)x=2 000，解得x=459万元.备课资料备用习题1.公差不为零的等差数列的第2、第3、第6项依次成等比数列，则公比是()a.1b.2c.3d.42.若等差数列a n的首项为a 1=1，数列bn为等比数列，把这两个数列对应项相加所得的新数列anb n的前三项为3，12，23，则an的公差与bn的公比之和为()a.-5b.7c.9d.143.在等差数列an中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1a4a25=114，求成等比数列的这三个数.4.设数列an是首项为1的等差数列，数列bn是首项为1的等比数列，又cn=an-bn(nn *)，已知c2=,c3=,c4=，试求数列cn通项公式与前n项和公式.5.某工厂四年来的产量，第一年到