湖南省中考数学 第一部分 教材知识梳理 第三单元 函数 第13课时 二次函数的图像与性质课件.ppt

第三单元函数 第13课时二次函数的图象与性质 中考考点清单 考点1 二次函数的概念 考点2 二次函数的图象性质 考点3 二次函数表达式的确定 高频 考点4 二次函数图象的平移 考点5 二次函数与方程 不等式的关系 二次函数的图象与性质 1 定义 形如y ax2 bx c a 0 a b c为常数 的函数 其中x是自变量 a b c分别是函数解析式的二次项系数 一次项系数和常数项 二次函数的概念 考点1 1 二次函数顶点坐标 对称轴与增减性 a 0 a 0 二次函数的图象性质 考点2 减小 增大 增大 减小 2 二次函数图象与a b c关系 向上 a 0 y轴 左 右 原点 1 三种表达式适用条件及求法 1 当已知抛物线上任意三点时 通常设一般式y ax2 bx c 2 当已知抛物线的顶点坐标 h k 和抛物线上另一点时 通常设顶点式y a x h 2 k 3 当已知抛物线与x轴交点坐标 x1 0 和 x2 0 时 通常设交点式y a x x1 x x2 2 三种表达式之间的关系 二次函数表达式的确定 高频 考点3 1 平移的方法步骤 1 将抛物线解析式转化为顶点式y a x h 2 k 确定其顶点坐标 h k 2 保持抛物线的形状不变 平移顶点坐标即可 2 平移规律 左加右减 上加下减 向上平移m个单位 y a x h 2 k m 向下平移m个单位 y a x h 2 k m 向左平移m个单位 y a x h m 2 k 向右平移m个单位 y a x h m 2 k 二次函数图象的平移 考点4 抛物线解析式求顶点坐标将抛物线y 2x2 2x向右平移1个单位 再向上平移2个单位后所得的函数的顶点坐标为 b c d 错解 抛物线解析式化成顶点式为y 2 x 2 则其顶点坐标为 将其向右平移1个单位 再向上平移2个单位得 11 失 分 点 失 分 点 错误分析 由抛物线顶点式得出顶点坐标时出错 平移结果出错 自主解答 抛物线解析式化为顶点式为y 2 x 2 则其顶点坐标为 将其向右平移1个单位 再向上平移2个单位得 故选a 11 失 分 点 11 名师提醒 1 求二次函数顶点坐标时 先将二次函数化成顶点式 再根据顶点式确定出顶点坐标 此处一定要注意顶点坐标的正负 如该题中顶点坐标为 而不是 2 二次函数图象平移规律为 上加下减 左加右减 而点坐标平移是 右加左减 上加下减 二者不可混淆 1 二次函数与一元二次方程二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2 bx c 0的根 b2 4ac 0 抛物线与x轴有两个交点 方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 抛物线与x轴有一个交点 方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根 b2 4ac 0 抛物线与x轴无交点 方程ax2 bx c 0无实数根 二次函数与方程 不等式的关系 考点5 2 二次函数与不等式ax2 bx c 0的解集 函数y ax2 bx c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围 ax2 bx c 0的解集 函数y ax2 bx c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围 常考类型剖析 例1 2016广州 对于二次函数y x2 x 4 下列说法正确的是 a 当x 0时 y随x的增大而增大b 当x 2时 y有最大值 3c 图象的顶点坐标为 2 7 d 图象与x轴有两个交点 b 二次函数的顶点坐标 对称轴与增减性 类型一 解析 y x2 x 4 x 2 2 3 此函数的顶点坐标为 2 3 当x 2时 y有最大值 3 对称轴为直线x 2 当x 2时 y随x的增大而减小 当x 2时 y随x的增大而增大 b2 4ac 1 4 3 0 图象与x轴没有交点 故b正确 拓展1 2016黄石 以x为自变量的二次函数y x2 2 b 2 x b2 1的图象不经过第三象限 则实数b的取值范围是 a b b b 1或b 1c b 2d 1 b 2 解析 a 1 0 抛物线开口向上 二次函数图象不经过第三象限 分两种情况讨论 1 当对称轴在x 0范围内 需满足在x 0时 函数值y 0 0 解得b 2 2 当对称轴在x 0范围内时 需满足函数图象顶点的纵坐标大于或等于0 即 解得 b 2 综上 b的取值范围为b 故选a 导 方 法 指 1 确定二次函数最值的方法 图象法 即画出图象 图象的最高点的纵坐标为最大值 最低点的纵坐标为最小值 对称轴法 当对称轴在自变量范围内时 y最值 端点取值 当对称轴不在自变量范围内时 先计算自变量取值范围两端点的函数值再比较 导 方 法 指 2 确定对称轴的方法 当已知二次函数的解析式时 对称轴为x 已知顶点坐标 h k 时 对称轴为x h 已知纵坐标相同的两点 x1 y x2 y 时 对称轴为x 导 方 法 指 3 比较两个二次函数值的大小 直接代入自变量求值 当自变量在对称轴同侧时 根据函数值随自变量的变化而变化的趋势判断 当自变量在对称轴两侧时 由两个数到对称轴的距离及函数值的变化来判断 即当a 0时 自变量越靠近对称轴的那个函数值越小 当a 0时 自变量越靠近对称轴的那个函数值越大 例2 2016兰州 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 对称轴是直线x 1 有以下结论 abc 0 4ac b2 2a b 0 a b c 2 其中正确的结论的个数是 a 1b 2c 3d 4 思维教练 由抛物线的开口方向 抛物线与y轴的交点可以确定a c与0的关系 再根据对称轴在y轴左侧且为x 1 可以判断 和 的正误 根据抛物线与x轴有两个交点可以判断 的正误 由当x 1时 y取最大值 可以判断 的正误 c 二次函数图象与a b c的关系 类型二 解析 抛物线开口向下 a0 abc 0 故 正确 抛物线与x轴有2个交点 b2 4ac 0 即4ac b2 故 正确 b 2a 2a b 0 故 错误 抛物线开口向下 x 1是对称轴 所以x 1对应的y值是最大值 a b c 2 故 正确 拓展2如图是二次函数y ax2 bx c图象的一部分 图象过点a 3 0 对称轴为直线x 1 给出四个结论 c 0 若点b y1 c y2 为函数图象上的两点 则y1 y2 2a b 0 0 其中 正确结论的个数是 a 1b 2c 3d 4 b 解析 抛物线与y轴的正半轴相交 c 0 抛物线的开口向下 在对称轴的左侧 y随x的增大而增大 y1 y2 抛物线的对称轴是直线x 1 1 由此得2a b 0 抛物线的顶点在第二象限 且顶点的纵坐标是 0 综上 正确结论有2个 c 二次函数与一元二次方程的关系 类型三 例3 2016宿迁 若二次函数y ax2 2ax c的图象经过点 1 0 则方程ax2 2ax c 0的解为 a x1 3 x2 1b x1 1 x2 3c x1 1 x2 3d x1 3 x2 1 思维教练 由二次函数与方程的关系即可求出此方程的一个根为 1 另一个根可以通过二次函数的对称性来求解 解析 由题意可知x 1是方程ax2 2ax c 0的一个解 二次函数图象的对称轴为x 1 二次函数的图象经过 3 0 即方程的另一个解为x 3 方程的两个解为x1 1 x2 3 例4 1 已知抛物线经过三点a 2 3 b 1 0 c 2 5 求其解析式 二次函数表达式的确定 类型四 解 已知抛物线上三点的坐标 可以设其解析式为一般式y ax2 bx c a 0 a 2 3 b 1 0 c 2 5 解得 抛物线的解析式为y x2 2x 3 2 已知抛物线的顶点为d 1 4 且经过点c 2 5 求其解析式 解 已知抛物线的顶点 及抛物线上一点坐标 可以设其解析式为顶点式y a x h 2 k a 0 顶点为d 1 4 解析式为y a x 1 2 4 抛物线经过点c 2 5 5 a 2 1 2 4 解得a 1 抛物线的解析式为y x 1 2 4 化为一般式为y x2 2x 3 3 已知抛物线与x轴的两个交点为a 3 0