高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.1 随机事件的概率课件 理 苏教版.ppt

12 1随机事件的概率 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 概率和频率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的 2 对于给定的随机事件a 在相同条件下 随着试验次数的增加 事件a发生的会在某个常数附近摆动并趋于稳定 我们可以用这个常数来刻画随机事件a发生的可能性大小 并把这个称为随机事件a的概率 记作p a 知识梳理 频数 频率 频率 常数 2 事件的关系与运算 包含 b a a b 事件 并 事件a发生且事件b 发生 交事件 互为对立事件 p a p b 1 3 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 2 必然事件的概率p e 3 不可能事件的概率p f 4 概率的加法公式如果事件a与事件b互斥 则p a b 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则p a 0 p a 1 1 0 p a p b 1 p b 互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外 还要求二者之一必须有一个发生 因此 对立事件是互斥事件的特殊情况 而互斥事件未必是对立事件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 事件发生频率与概率是相同的 2 随机事件和随机试验是一回事 3 在大量重复试验中 概率是频率的稳定值 4 两个事件的和事件是指两个事件都得发生 5 对立事件一定是互斥事件 互斥事件不一定是对立事件 6 两互斥事件的概率和为1 考点自测 基本事件的个数有5 3 15 其中满足b a的有3种 1 从 1 2 3 4 5 中随机选取一个数a 从 1 2 3 中随机选取一个数b 则b a的概率是 答案 解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0 10 都有可能发生 正面向上5次是随机事件 2 教材改编 将一枚硬币向上抛掷10次 其中 正面向上恰有5次 是 填序号 必然事件 随机事件 不可能事件 无法确定 答案 解析 3 从某班学生中任意找出一人 如果该同学的身高小于160cm的概率为0 2 该同学的身高在 160 175 单位 cm 内的概率为0 5 那么该同学的身高超过175cm的概率为 答案 解析 0 3 因为必然事件发生的概率是1 所以该同学的身高超过175cm的概率为1 0 2 0 5 0 3 4 某射手在一次射击中 射中10环 9环 8环的概率分别为0 2 0 3 0 1 则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 答案 解析 0 5 依题设知 此射手在一次射击中不超过8环的概率为1 0 2 0 3 0 5 5 教材改编 袋中装有9个白球 2个红球 从中任取3个球 则 恰有1个红球和全是白球 至少有1个红球和全是白球 至少有1个红球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个红球 在上述事件中 是对立事件的为 答案 解析 是互斥不对立的事件 是对立事件 不是互斥事件 题型分类深度剖析 题型一事件关系的判断 例1 1 从1 2 3 7这7个数中任取两个数 其中 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数 至少有一个是奇数和两个都是奇数 至少有一个是奇数和两个都是偶数 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中 是对立事件的是 答案 解析 中 至少有一个是奇数 即 两个奇数或一奇一偶 而从1 7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件 两个都是奇数 一奇一偶 两个都是偶数 故 至少有一个是奇数 与 两个都是偶数 是对立事件 易知其余都不是对立事件 2 设条件甲 事件a与事件b是对立事件 结论乙 概率满足p a p b 1 则甲是乙的 条件 若事件a与事件b是对立事件 则a b为必然事件 再由概率的加法公式得p a p b 1 设掷一枚硬币3次 事件a 至少出现一次正面 事件b 3次出现正面 则p a p b 满足p a p b 1 但a b不是对立事件 充分不必要 答案 解析 3 2016 镇江模拟 某城市有甲 乙两种报纸供居民订阅 记事件a为 只订甲报纸 事件b为 至少订一种报纸 事件c为 至多订一种报纸 事件d为 不订甲报纸 事件e为 一种报纸也不订 判断下列每对事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 a与c 由于事件c 至多订一种报纸 中有可能 只订甲报纸 即事件a与事件c有可能同时发生 故a与c不是互斥事件 解答 b与e 事件b 至少订一种报纸 与事件e 一种报纸也不订 是不可能同时发生的 故b与e是互斥事件 由于事件b不发生可导致事件e一定发生 且事件e不发生会导致事件b一定发生 故b与e还是对立事件 解答 b与c 事件b 至少订一种报纸 中有这些可能 只订甲报纸 只订乙报纸 订甲 乙两种报纸 事件c 至多订一种报纸 中有这些可能 一种报纸也不订 只订甲报纸 只订乙报纸 由于这两个事件可能同时发生 故b与c不是互斥事件 解答 c与e 由 的分析 事件e 一种报纸也不订 是事件c的一种可能 即事件c与事件e有可能同时发生 故c与e不是互斥事件 解答 1 准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件 但可以同时不发生 对立事件是特殊的互斥事件 特殊在对立的两个事件不可能都不发生 即有且仅有一个发生 2 判断互斥 对立事件的方法判断互斥事件 对立事件一般用定义判断 不可能同时发生的两个事件为互斥事件 两个事件 若有且仅有一个发生 则这两事件为对立事件 对立事件一定是互斥事件 思维升华 跟踪训练1从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球 以下给出了四组事件 至少有1个白球与至少有1个黄球 至少有1个黄球与都是黄球 恰有1个白球与恰有1个黄球 恰有1个白球与都是黄球 其中互斥而不对立的事件共有 组 答案 解析 1 中 至少有1个白球 与 至少有1个黄球 可以同时发生 如恰好1个白球和1个黄球 中的两个事件不是互斥事件 中 至少有1个黄球 说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球 则两个事件不互斥 中 恰有1个白球 与 恰有1个黄球 都是指有1个白球和1个黄球 因此两个事件是同一事件 中两事件不能同时发生 也可能都不发生 因此两事件是互斥事件 但不是对立事件 题型二随机事件的频率与概率 例2 2016 全国甲卷 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 1 记a为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求p a 的估计值 解答 事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2 故p a 的估计值为0 55 2 记b为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 求p b 的估计值 解答 事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4 故p b 的估计值为0 3 3 求续保人本年度的平均保费的估计值 解答 由所给数据得 调查的200名续保人的平均保费为0 85a 0 30 a 0 25 1 25a 0 15 1 5a 0 15 1 75a 0 10 2a 0 05 1 1925a 因此 续保人本年度平均保费的估计值为1 1925a 1 概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 频率是随机的 而概率是一个确定的值 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小 有时也用频率作为随机事件概率的估计值 2 随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率 即通过大量的重复试验 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 这个常数就是概率 思维升华 跟踪训练2 2015 北京 某超市随机选取1000位顾客 记录了他们购买甲 乙 丙 丁四种商品的情况 整理成如下统计表 其中 表示购买 表示未购买 1 估计顾客同时购买乙和丙的概率 解答 从统计表可以看出 在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙 2 估计顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率 解答 从统计表可以看出 在这1000位顾客中 有100位顾客同时购买了甲 丙 丁 另有200位顾客同时购买了甲 乙 丙 其他顾客最多购买了2种商品 所以顾客在甲 乙 丙 丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 0 3 3 如果顾客购买了甲 则该顾客同时购买乙 丙 丁中哪种商品的可能性最大 解答 与 1 同理 可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 0 2 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 0 6 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 0 1 所以 如果顾客购买了甲 则该顾客同时购买丙的可能性最大 题型三互斥事件 对立事件的概率 命题点1互斥事件的概率例3袋中有12个小球 分别为红球 黑球 黄球 绿球 从中任取一球 得到红球的概率是 得到黑球或黄球的概率是 得到黄球或绿球的概率也是 试求得到黑球 黄球和绿球的概率各是多少 解答 方法一从袋中选取一个球 记事件 摸到红球 摸到黑球 摸到黄球 摸到绿球 分别为a b c d 则有 又总球数是12 所以绿球有12 4 5 3 个 又得到黄球或绿球的概率也是 所以黄球和绿球共5个 而绿球有3个 所以黄球有5 3 2 个 所以黑球有12 4 3 2 3 个 命题点2对立事件的概率例4某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 p a p b p c 解答 2 1张奖券的中奖概率 解答 1张奖券中奖包含中特等奖 一等奖 二等奖 设 1张奖券中奖 这个事件为m 则m a b c a b c两两互斥 p m p a b c p a p b p c 3 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解答 设 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件n 则事件n与 1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的 求解时通常有两种方法 1 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件 利用概率加法公式求解概率 2 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时 需要分类太多 而其对立面的分类较少 可考虑利用对立事件的概率公式 即 正难则反 它常用来求 至少 或 至多 型事件的概率 思维升华 跟踪训练3经统计 在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下 求 1 至多2人排队等候的概率 解答 记 无人排队等候 为事件a 1人排队等候 为事件b 2人排队等候 为事件c 3人排队等候 为事件d 4人排队等候 为事件e 5人及5人以上排队等候 为事件f 则事件a b c d e f彼此互斥 记 至多2人排队等候 为事件g 则g a b c 所以p g p a b c p a p b p c 0 1 0 16 0 3 0 56 2 至少3人排队等候的概率 解答 方法一记 至少3人排队等候 为事件h 则h d e f 所以p h p d e f p d p e p f 0 3 0 1 0 04 0 44 方法二记 至少3人排队等候 为事件h 则其对立事件为事件g 所以p h 1 p g 0 44 用正难则反思想求互斥事件的概率 思想与方法系列24 典例 14分 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间2分钟的概率 将频率视为概率 思想方法指导 规范解答 若某一事件包含的基本事件多 而它的对立事件包含的基本事件少 则可用 正难则反 思想求解 返回 解 1 由已知得25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 2分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 其估计值为 返回 2 记a为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟 a1 a2分别表示事件 该顾客一次购物的结算时间为2 5分钟 该顾客一次购物的结算时间为3分钟 将频率视为概率得 10分 返回 课时作业 1 2016 宿迁模拟 甲 乙两人下棋 若甲获胜的概率为 甲 乙下成和棋的概率为 则乙不输棋的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 教材改编 袋中装有3个白球 4个黑球 从中任取3个球 则 恰有1个白球和全是白球 至少有1个白球和全是黑球 至少有1个白球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个黑球 在上述事件中 是对立事件的为 答案 解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生 且一定有一个发生 中两事件是对立事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 是 3 围棋盒子中有多粒黑子和白子 已知从中取出2粒都是黑子的概率是 都是白子的概率是 则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率 答案 解析 设 从中取出2粒都是黑子 为事件a 从中取出2粒都是白子 为事件b 任意取出2粒恰好是同一色 为事件c 则c a b 且事件a与b互斥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 常州模拟 在一次随机试验中 彼此互斥的事件a b c d的概率分别是0 2 0 2 0 3 0 3 则下列说法正确的是 a b与c是互斥事件 也是对立事件 b c与d是互斥事件 也是对立事件 a c与b d是互斥事件 但不是对立事件 a与b c d是互斥事件 也是对立事件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由于a b c d彼此互斥 且a b c d是一个必然事件 故其事件的关系可由如图所示的venn图表示 由图可知 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 5 从一篮子鸡蛋中任取1个 如果其重量小于30克的概率为0 3 重量在 30 40 克的概率为0 5 那么重量不小于30克的概率为 由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1 0 3 0 5 0 2 又 0 5 0 2 0 7 重量不小于30克的概率为0 7 0 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 从存放的号码分别为1 2 3 10的卡片的盒子中 有放回地取100次 每次取一张卡片并记下号码 统计结果如表 答案 解析 则取到号码为奇数的卡片的频率是 取到号码为奇数的卡片的次数为13 5 6 18 11 53 则所求的频率为 0 53 0 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在200件产品中 有192件一级品 8件二级品 则下列事件 在这200件产品中任意选出9件 全部是一级品 在这200件产品中任意选出9件 全部是二级品 在这200件产品中任意选出9件 不全是二级品 其中 是必然事件 是不可能事件 是随机事件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 苏州模拟 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数 指定1 2 3 4表示命中 5 6 7 8 9 0表示不命中 再以每三个随机数为一组 代表三次投篮的结果 经随机模拟产生了如下20组随机数 907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 答案 解析 0 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191 271 932 812 393 其频率为 0 25 以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若随机事件a b互斥 a b发生的概率均不等于0 且p a 2 a p b 4a 5 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 江苏苏州五中期中 一个口袋内装有大小相同的红球 白球和黑球 从中摸出一个球 摸出红球或白球的概率为0 58 摸出红球或黑球的概率为0 62 那么摸出红球的概率为 记事件a b c分别是摸出红球 白球和黑球 则a b c互为互斥事件且p a b 0 58 p a c 0 62 所以p c 1 p a b 0 42 p b 1 p a c 0 38 p a 1 p c p b 1 0 38 0 42 0 2 0 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 某保险公司利用简单随机抽样方法 对投保车辆进行抽样 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下 1 若每辆车的投保金额均为2800元 估计赔付金额大于投保金额的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设a表示事件 赔付金额为3000元 b表示事件 赔付金额为4000元 以频率估计概率得 由于投保金额为2800元 赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元 所以其概率为p a p b 0 15 0 12 0 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 在样本车辆中 车主是新司机的占10 在赔付金额为4000元的样本车辆中 车主是新司机的占20 估计在已投保车辆中 新司机获赔金额为4000元的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设c表示事件 投保车辆中新司机获赔4000元 由已知 样本车辆中车主为新司机的有0 1 1000 100 辆 而赔付金额为4000元的车辆中 车主为新司机的有0 2 120 24 辆 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为 0 24 由频率估计概率得p c 0 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 北京 a b c三个班共有100名学生 为调查他们的体育锻炼情况 通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间 数据如下表 单位 小时 1 试估计c班的学生人数 由题意及分层抽样可知 c班学生人数约为 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 从a班和c班抽出的学生中 各随机选取1人 a班选出的人记为甲 c班选出的人记为乙 假设所有学生的锻炼时间相互独立 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设事件ai为 甲是现有样本中a班的第i个人 i 1 2 5 事件cj为 乙是现有样本中c班的第j个人 j 1 2 8 设事件e为 该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长 由题意知 e a1c1 a1c2 a2c1 a2c2 a2c3 a3c1 a3c2 a3c3 a4c