广东省2011年高考全真模拟试卷二（数学理）

做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 2011 年广东 高考 全真模拟试卷理科数学 （ 二 ） 本试卷共 4 页， 21 小题， 满分 150 分 考试用时 120 分钟 参考公式： 球 的 表面积 公式 24SR ，其中 R 是 球 的 半径 圆锥的侧面积公式 S rl ，其中 r 为底面的半径， l 为母线长 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知 z 是纯虚数，iz1 2是实数（其中 i 为虚数单位），则 z A 2i B i C i D 2i 2 对命题 :pA ，命题 :q A A ，下列说法正确的是 A pq 为真 B pq 为假 C p 为假 D p 为真 3 图 1是根据某班学生在一次数学考试 中的成绩画出的频率分布直方图，若 80 分以上为优秀，根据图形信息可知： 这次考试的优秀率为 A 25% B 30% C 35% D 40% 4若直线 )0,0(022 babyax 始终平 分圆 082422 yxyx 的周长， 则ba 21的最小值为 A 1 B 3 2 2 C 5 D 42 5 某器物的三视图如图 2 所示，根据图中数据可知 该器物的表面积为 A 4 B 5 C 8 D 9 6 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的离心率为 频 率组 距图 1 图 2 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 图 3 A 5 B 52C 3 D 2 7 若关于 x 的不等式 21 2 4x x a a 有实数解， 则实数 a 的取值范围为 A ( ,1) (3 , ) U B (1,3) C ( , 3 ) ( 1 , ) U D ( 3, 1) 8 若1 2 1 2( , ) , ( , )a a a b b brr，定义一种向量积：1 1 2 2( , )a b a b a brr， 已知 1( 2 , ) , ( , 0 )23mn ur r ，且点 ( , )Px y 在函数 sinyx 的图象上运动，点 Q 在函数()y f x 的图象上运动，且点 P 和点 Q 满足： O Q m O P n uuur ur uuur r（其中 O 为坐标原点），则函数 ()y f x 的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 A 2, B 2,4 C 1,2 D 1,42 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 13题） 9 在二项式 1(2 )nxx的展开式中，若第 5 项是常数项，则 n _ （用数字作答） 10 已知等差数列 na中，有1 1 1 2 2 0 1 2 3 01 0 3 0a a a a a a LL成立 类似地，在等比数列 nb中， 有 _成立 11 按如图 3 所示的程序框图运行程序后， 输出的结果是 63 ， 则判断框中的整数 H _ 12 设 2 0 , 1 () 1(1 , xxfx xex ， 则0 ()e f x dx _ 13 在 ABC 中 ,a b c、 、 分别为内角 A B C、 、 所对的边，且 30A 现给出三个条件： 2a ； 45B； 3cb 试从中选出两个可以确定 ABC的条件，并以此为依据求 ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可 )你选择的条件是 (用序号填写 )； 由此得到的 ABC 的面积为 （二）选做题（ 14 15题，考生只能从中选做一题） 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ A B C D E F 图 5 14（ 几何证明选讲 选做题 ） 如图 4， PT 为圆 O 的切线， T 为切点，3ATM ，圆 O 的面积为 2 ，则 PA 15（ 坐标系与参数方程 选做题 ） 在极坐标系中， 曲线 3 截直线 1)4cos( 所得的弦长为 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤 16（ 本小题满分 12分 ） 已知平面上三点 )0,2(A ， )2,0(B ， )sin,(cos C （ 1）若 2( ) 7O A O Cuuur uuur （ O 为坐标原点），求向量 OB 与 OC 夹角的大小； （ 2）若 BCAC ，求 2sin 的值 17（ 本小题满分 12分 ） 第 16届亚运会将于 2010年 11月在 广州市举行，射击队运动员们正在积极备战 . 若某运动员每次射击成绩为 10环的概率为 13. 求该运动员在 5次射击中，（ 1）恰有 3次射击成绩为 10环的概率； （ 2）至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率； （ 3）记“射击成绩为 10 环的次数”为 ，求 E .（结果用分数表示） 18（ 本小题满分 14分 ）如图 5，已知 AB 平面 ACD ， DE 平面 ACD ， ACD 为等边三角形， 2AD D E AB， F 为 CD 的中点 （ 1） 求证： /AF 平面 BCE ； （ 2） 求证：平面 BCE 平面 CDE ；（ 3） 求 直线 BF 和平面 BCE 所成角 的 正弦值 19（ 本小题满分 14分 ） 过点0(1,0)P作曲线 3: ( ( 0 , ) )C y x x 的切线，切点为1Q，过1Q作 x 轴的垂线交 x 轴于点1P，又过1P作曲线 C的，切点为2Q，过2Q作 x 轴的垂线交 x 轴于 点2P，依次下去得到一系列点1 2 3,Q Q Q，设点nQ的横坐标为na（ 1）求数列na 的通项公式； （ 2）求和1ni iia；（ 3）求证： 1 ( 2 , )2n na n n N 20（ 本小题满分 14分 ） 已知 圆 M ： 2 2 2( ) ( )x m y n r 及定点 (1,0)N ，点 P 是圆 MP T M A O 图 4 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在 MP 上， 且满足 NPuur 2NQuur ， GQuur NPuur 0 （ 1） 若 1 , 0 , 4m n r ，求点 G 的轨迹 C 的方程； （ 2） 若动圆 M 和（ 1）中所求轨迹 C 相交于不同两点 ,AB，是否存在一 组正实数 ,mnr ，使得直线 MN 垂直平分线段 AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由 21（ 本小题满分 14分 ） 己知函数 1()( 1 ) l n ( 1 )fx xx (1) 求函数 ()fx的定义域； (2) 求函数 ()fx的增区间； (3) 是否存在实数 m ，使不等式 1 12 ( 1) mx x 在 10x 时恒成立？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 2011 年广东高考全真模拟试卷理科数学（二） 答案 本试卷共 4 页， 21 小题， 满分 150 分 考试用时 120 分钟 一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算共 8小题，每小题 5分， 满分 40分 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B D A A D 1.选 D.提示： )0( bbiz设 . 2.选 C.提示：由已知 p 为真， q 为假 . 3.选 B.提示： 3.010005.010025.0 . 4.选 B.提示： ,1,12 ba所以），直线过圆心（ . 22323)21)(21 baabbababa5.选 D.提示：圆锥上面有一球，半径为 1， 94221114 22 S . 6.选 A.提示： 5,5,5,2 222222 eecacbaab. 7.选 A.提示： 034,4213 22 aaaaxx . 8.选 D.提示： ),s in21,32( xxOQ . )621s i n (21)(,s i n21)32( xxfxxf二 .填空题： 本大题 查基本知识和基本运算 ，体现选择性 共 7 小题，每小题 5 分，满分 30分其中 1415 题是选做题，考生只能选做 一 题 9 8 ； 10 30302110 201211 bbbbbb ； 11 5 ； 12 43； 13 ， 31 （或 ， 3 ） ； 14 23 ； 15 24 9.8.提示： 8,08,)1(2)1()2( 84444445 nnxCxxCT nnnnn. 10. 30302110 201211 bbbbbb .提示：算术平均数类比几何平均数 . 11.5.提示： 5HS,663 ，不满足条件时输出时 AS . 12.43.提示：34131|ln|311 1103110 2 ee xxdxxdxx原式. 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 13. ， 31 （或 ， 3 ） .提示：由正弦定理求出 b， 再根据 CabS sin21. 14. 23 .提示： 23,22 OAPOPAPOOT ，连接 . 15. 24 .提示： 转化为直角坐标系求解 三 .解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明 .证明过程和演算步骤 16（ 本小题满分 12 分 ） （ 本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力 ） 解：（ 1） )s in,c o s2( OCOA ， 2( ) 7O A O Cuuur uuur ， 7s in)c o s2( 22 ， 2 分 21cos 4 分 又 )2,0(B ， )sin,(cos C ，设 OB 与 OC 的夹角为 ，则 ： 23s in2s in2c o s OCOBOCOB ， OBuur 与 OCuur 的夹角为6或 65 7 分 （ 2） ( c o s 2 , s i n )AC uuurQ ， )2s in,( c o s BC ， 9 分 由 AC BCuuur uuur ， 0AC BCuuur uuur ， 可得21sinc os ， 11 分 41)s in(c o s 2 ， 43c oss in2 ，432sin 12 分 17（ 本小题满分 12分 ） （ 本小题主要考查 随机变量的分布列 .二项分布 .数学期望 等知识，考查 或然与必然 的数学思想方法，以及 数据处理能力 .运算求解能力 和应用意识 ） 解： 设随机变量 X 为 射击成绩为 10 环的 次 数， 则 1 (5, )3XB. 2 分 （ 1） 在 5 次射击中 ， 恰有 3 次射击成绩为 10 环 的概率 为 ： 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ A B C D E F M H G 3235 11( 3 ) 133P x C 1 4 4 0102 7 9 2 4 3 4 分 （ 2） 在 5 次射击中 ， 至少 有 3 次射击成绩为 10 环 的概率 为 ： ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )P X P X P X P X 6 分 3 2 4 5 03 4 55 5 51 1 1 1 1 11 1 13 3 3 3 3 3C C C 4 0 1 0 1 1 72 4 3 2 4 3 2 4 3 8 1 . 8 分 （ 3）方法一： 随机变量 X 的 分布列 为 ： X 0 1 2 3 4 5 P 32243802438024340243102431243故 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5( ) 0 1 2 3 4 52 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 3EX 12 分方法二 :因为 1 (5, )3XB，所以 5()3EX. 12 分 18（ 本小题满分 14 分 ） （ 本小题主要考查 空间线面 关系 .面面关系 .空间向量及坐标运算 等知识，考查 数形结合 .化归与转化的数学思想方法，以及 空间想象能力 .推理论证能力和 运算求解能力 ） 解法一 ： (1) 证 ：取 CE 的中点 G ， 连 结 FG BG、 F 为 CD 的中点 ， /GF DE 且 12GF DE AB 平面 ACD ， DE 平面 ACD ， /AB DE ， /GF AB 又 12AB DE， GF AB 四边形 GFAB 为平行四边形 ， 则 /AF BG AF 平面 BCE ， BG 平面 BCE ， 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ /AF 平面 BCE 4 分 (2) 证 ： ACD 为等边三角形， F 为 CD 的中点 ， AF CD DE 平面 ACD ， AF 平面 ACD ， DE AF 又 CD DE DI ， 故 AF 平面 CDE /BG AF ， BG 平面 CDE BG 平面 BCE ， 平面 BCE 平面 CDE 8 分 (3) 解 ：在平面 CDE 内 ，过 F 作 FH CE 于 H ，连 BH 平面 BCE 平面 CDE ， FH 平面 BCE FBH 为 BF 和平面 BCE 所成 的 角 10 分 设 22A D D E A B a ， 则 2s i n 4 52F H C F a ， 2 2 2 2( 3 ) 2B F A B A F a a a ， 在 R t FHB 中， 2s i n4FHFBH BF 13 分 直线 BF 和平面 BCE 所成角 的 正弦值为 24 14 分 解法二 ： 设 22A D D E A B a ， 建立如图所示的坐标系 A xyz ， 则 ( ,0,0)Aa (0,0, )Ba(2 , 0, 0)Ca ( , 3 , 0)D a a ( , 3 , 2 )E a a a F 为 CD 的中点， 33, , 022F a a (1) 证 ： 33, , 0 , , 3 , , 2 , 0 ,22A F a a B E a a a B C a a u u ur u u ur u u ur， 12A F B E B Cuuur uuur uuur， AF 平面 BCE ， /AF 平面 BCE 4 分 (2) 证 ： 33, , 0 , , 3 , 0 , 0 , 0 , 222A F a a C D a a E D a u u ur u u ur u u ur， 0 , 0A F C D A F E D uuur uuur uuur uuur， ,A F C D A F E Duuur uuur uuur uuur 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ AFuuur 平面 CDE ，又 /AF 平面 BCE ， 平面 BCE 平面 CDE 8 分 (3) 解 ：设平面 BCE 的法向量为 ,n x y zr ， 由 0 , 0n B E n B C r uuur r uuur可得： 3 0 , 2 0x y z x z ， 取 1, 3 , 2n r 10 分 又 33,22B F a a auuur ， 设 BF 和平面 BCE 所成 的 角为 ， 则422222|s in aanBFnBF 13 分 直线 BF 和平面 BCE 所成角 的 正弦值为 24 14 分 19（ 本小题满分 14分 ） （ 本小题 主要考查数列 .导数 .不等式 .数学归纳法 等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及 抽象概括能力 .运算求解能力 和创新意识 ） 解：（ 1） 3yx ， 23yx 若切点是 3( , )nnnQ a a， 则切线方程为 323 ( )n n ny a a x a 1 分 当 1n 时，切线过点0(1,0)P， 即： 321 1 10 3 (1 )a a a ， 依题意1 0a所以1 32a 2 分 当 1n 时，切线过点11( , 0)nnPa， 即： 3210 3 ( )n n n na a a a ， 依题意 0na ，所以13 ( 1)2nna a n 3 分 所以数列 na是首项为 32， 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 公比为 32的等比数列所以 32nna 4 分 （ 2）记1 2 11 2 1n nnnnS a a a a L， 因为11 2 13nnaa ， 所以2 3 12 1 2 13n nnnnS a a a a L 5 分 两式相减， 得：1 2 11 1 1 13n nnnS a a a a L 212 2 2 23 3 3 3nnn L122133 22 313nnn 12221 33nnn 7 分 1nn i iiSa1226 1 333nnn 26 2 ( 3 )3nn 9 分 （ 3）证法 1： 112nna20 1 21 1 12 2 2nnn n n nC C C C L做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 01 1 1 ( 2 )22nn nC C n 14 分 证法 2：当 2n 时， 223 9 5 2112 4 4 2a 10 分 假设 nk 时，结论成立， 即 12k ka ， 则13 3 1 3 1 11 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2kkk k k kaa 即 1nk时 1 11 2k ka 13 分 综上， 12n na 对 2,n n N 都成立 14分 20（ 本小题满分 14分 ） （ 本小题 主要考查 椭圆 .直线与圆锥曲线位置关系 等知识，考查 数形结合 .化归与转化 .函数与方程 的数学思想方法，以及 推理论证能力和 运算求解能力 ） 解：（ 1） 2,N P N Quuur uuurQ 点 Q 为 PN 的中点， 又 0G Q N Puuur uuurQ ， GQ PN或 G 点与 Q 点重合 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ .| GNPG 2 分 又 | | | | | | | | | | 4 .G M G N G M G P P M 点 G 的轨迹是以 ,MN为焦点的椭圆， 且 2, 1ac， 22 3,b a c G G 的轨迹方程是 221.43xy 6 分 (2)解：不存在这样一组正实数， 下面证明： 7 分 由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线 MN 的斜率存在时，设之为 k ， 故直线 MN 的方程为： ( 1)y k x， 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， AB 中点00( , )D x y， 则221122143143xyxy ，两式相减得： 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 043x x x x y y y y 9 分 注意到12121yyx x k ， 且12012022xxxyyy ， 则003 14xyk， 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 又点 D 在直线 MN 上， 00( 1)y k x ， 代入 式得：0 4x 因为弦 AB 的中点 D 在 所给椭圆 C 内， 故022x ， 这与0 4x 矛盾， 所以所求这组正实数不存在 13 分 当直线 MN 的斜率不存在时， 直线 MN 的方程为 1x ， 则此时1 2 1 2,2y y x x ， 代入 式得120xx， 这与 ,AB是不同两点矛盾 综上，所求的这组正实数不存在 14 分 21（ 本小题满分 14 分 ） 解 （ 本小题主要 考查 函数与导数 等知识，考查 分类讨论， 化归与转化的数学思想方法，以及 推理论证能力和 运算求解能力 ） :（ 1）根据函数解析式得 10,11xx解得 1x 且 0x 函数 ()fx的定义域是 , 1 .x x R x 且 x0 3 分 （ 2） 1( ) ,( 1 ) l n ( 1 )fx xx Q22l n ( 1 ) 1() ( 1 ) l n ( 1 )xfx xx 5 分 由 ( ) 0fx 得 ln ( 1) 1 0 .x 11 1 .xe 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 函数 ()fx的增区间为 1( 1, 1)e 8 分 （ 3） 1 1 0 ,ex Q 1 1 1 .ex 1 l n ( 1 ) 0 .x ln ( 1) 1 0x 当 1 10ex 时 , 22l n ( 1 ) 1( ) 0 .( 1 ) l n ( 1 )xfx xx 在区间 1,0 上 , 当 1 1xe时 , ()fx取得最大值 1( ) ( 1 )f x f e e 最 大 10 分 1 12 ( 1) mx x Q 在 10x 时恒成立 1 l n 2 l n ( 1 )1 mxx 在 10x 时恒成立 l n 2( 1 ) l n ( 1 )m xx 在 10x 时恒成立 ln 2( 1 ) ln ( 1 )xxQ 在 10x 时的最大值等于 ln2e ln 2.me 当 ln 2me 时，不等式 1 12 ( 1) mx x 在 10x 时恒成立 14 分 海淀区高三年级第 二 学期期 中 练习 数 学 （ 理科 ） 2011.4 选择题 （共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中 ,做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 选出符合题目要求的一项 . 1、已知集合 30 xxA R ， 42 xxB R ，则 BA A. 32 xx B. 32 xx C. 322 xxx 或 D. R 2已知数列 na为等差数列，nS是它的前 n 项和 .若 21a， 123 S， 则 4SA 10 B 16 C 20 D 24 3. 在极坐标系下，已知圆 C 的方程为 2cos ，则下列各点在圆 C 上的是 A 1,3B 1,6C 32,4D 52,44执行 如图所示的程序框图，若输出 x 的 值为 23，则输入的 x 值为 A 0 B 1 C 2 D 11 5 已知平面 lI ， m 是 内不同于 l 的直线，那么下列命题中 错误 的是 A若 /m ，则 lm/ B若 lm/ ，则 /m C若 m ，则 lm D若 lm ，则 m 6. 已知非零向量 ,abc 满足 a b c ，向量 ,ab的夹角为 120o ，且 | | 2| |ba，则向量 a 与 c 的夹角为 A 60 B 90 C 120 D 150 7.如果存在正整数 和实数 使得函数 )(co s)( 2 xxf （ ， 为常数）的图象如图所示（图象经过点（ 1,0），那么 的值为 A 1 B 2 C 3 D. 4 8已知 抛物线 M ： 2 4yx= ， 圆 N ： 222)1( ryx （其中 r 为常数，0r ） .过点（ 1， 0）的直线 l 交 圆 N 于 C 、 D 两点 ， 交 抛物线 M 于 A 、B 两点 ，且满足 BDAC 的 直线 l 只有三条的必要条件是 A (0,1r B (1,2r C 3( ,4)2rD 3 , )2r 21xx是否3n1nnx输 入开 始1nx输 出结 束112yO x做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 非选择题 （共 110 分） 二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30 分 .把答案填在题中横线上 . 9复数 3i1i . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查 .他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s，2s，3s ，则它们的大 小关系为 . （用“ ”连接） 11 如图， A， B， C 是 O 上的三点， BE 切 O 于点 B， D 是 CE 与O 的交点 .若 70BAC ，则 CBE _；若 2BE ， 4CE ， 则 CD . 12.已知平面区域 11,11|),( yxyxD ，在区域 D 内 任取一点， 则 取到的点位于直线 y kx （ kR ） 下方的概率为 _ . 13.若 直线 l 被圆 22:2C x y所截 的 弦长不小于 2，则 在 下列曲线中 ： 22 xy 22( 1) 1xy 2 2 12x y 221xy 与直线 l 一定 有 公共点 的 曲线的序号 是 . （写出你认为正确的所有序号） 14 如图，线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点，点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP =x ， CPD 的面积为 ()fx . 则 ()fx 的 定 义域 为 ； ()fx的零点是 . 三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过ACBODEA C P BDO 元频 率组 距0.00020.00040.0080.0006乙100015002000250030003500 O 元频 率组 距0.00020.00040.0080.0006丙100015002000250030003500元频 率组 距0.00020.00040.0080.0006甲100015002000250030003500做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 程 . 15. （本小题 共 13 分） 在 ABC 中， 内角 A、 B、 C 所 对 的 边分别为 ,abc， 已知 1tan2B， 1tan3C， 且 1c . ( )求 tanA ； ( )求 ABC 的面积 . 16. （本小题 共 14 分） 在如图的多面体中， EF 平面 AEB ， AE EB , /AD EF ， /EF BC ， 24BC AD， 3EF ， 2AE BE， G 是 BC 的中点 ( ) 求证： /AB 平面 DEG ； ( ) 求证： BD EG ； ( ) 求二面角 C DF E的余弦值 . 17. （本小题 共 13 分） 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测， 每一件 一等品 都能通过检测，每一件二等品 通过检测 的概率为 23.现有 10 件 产品，其中 6 件是一等品， 4 件是二等品 . ( ) 随机选取 1 件产品， 求 能够通过检测的概率； ( )随机选取 3 件产品， 其中一等品的件数记为 X ， 求 X 的分布列； ( ) 随机选取 3 件产品 ，求这三件产品 都 不 能通过检测的概率 . 18. （本小题 共 13 分） 已知函数 ( ) lnf x x a x ， 1( ) , ( R ) .ag x ax （） 若 1a ，求函数 ()fx的极值； （）设 函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x，求函数 ()hx 的单调区间； ( )若在 1,e （ e 2.718. ）上存在一点0x，使得0()fx 0()gx成立，求 a 的取值范围 . A DFEB G C做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 19. （本小题 共 14 分） 已知椭圆 22:1xyCab( 0)ab 经过点 3(1, ),2M其离心率为 12. （）求椭圆 C 的方程； ( )设直线 1: ( | | )2l y k x m k 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，以线段 ,OAOB 为邻边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P 在椭圆 C 上， O 为坐标原点 .求 OP 的取值范围 . 20. （本小题 共 13 分） 已知每项均是正整数的数列 A ：1 2 3, , , , na a a aL，其中等于 i 的项有ik个 ( 1, 2, 3 )i ， 设jj kkkb 21( 1, 2,3 )j L ，12() mg m b b b n m L ( 1, 2, 3 )m . （ ）设 数列 :1, 2,1, 4A ，求 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 )g g g g g； （ ）若数列 A 满足12 100na a a n L，求函数 )(mg 的最小值 . 海淀区高三 年级 第 二 学期期 中 练习 数 学（理） 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 答案及评分 参考 2011 4 选择题 （共 40 分） 一、 选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B B D 非选择题 （共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 . 共 30 分 .有两空的题目，第一空 3 分，第二空2 分 ） 9.12i 10. s1 s2 s3 11. 70o ； 3 12. 1213. 14. (2,4)； 3 三、 解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80 分 ) 15.（共 13 分） 解：（ I） 因为 1tan2B， 1tan3C, t a n t a nt a n ( )1 t a n t a nBCBC BC , 1分 代入得到，1123t a n ( ) 111123BC . 3分 因为180A B C o , 4 分 所以t a n t a n ( 1 8 0 ( ) ) t a n ( ) 1B C B C o. 5 分 （ II）因为 0 180Aoo，由 （ I） 结论可得 ： 135A o . 7分 因为 11t a n t a n 023BC ， 所以 0 9 0CB oo . 8 分 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 所以 5sin ,5B 10sin 10C . 9分 由sin sinacAC得5a ， 11 分 所以 ABC 的面积为 ：11sin22ac B . 13 分 16. （共 14 分） 解： ( )证明： / / , / /A D E F E F B C， /AD BC . 又 2BC AD ,G 是 BC 的中点， /AD BG ， 四边形 ADGB 是平行四边形， /AB DG . 2 分 AB 平面 DEG ， DG 平面 DEG ， /AB 平面 DEG . 4 分 ( ) 解法 1 证明： EF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ， EF AE ， 又 ,A E E B E B E F EI， ,B EF 平面 BCFE ， AE 平面 BCFE . 5 分 过 D 作 /DH AE 交 EF 于 H ，则 DH 平面 BCFE . EG 平面 BCFE ， DH EG . 6 分 / / , / /A D E F D H A E， 四边形 AEHD 平行四边形， 2EH AD， 2EH BG，又 / / ,E H B G E H B E， 四边形 BGHE 为正方形， BH EG ， 7 分 又 ,B H D H H B HI 平面 BHD ， DH 平面 BHD , EG 平面 BHD . 8HA DFEB G C做好题，得高分，精选习题，真给力！ 做好题，得高分，精选习题，真给力！ 分 BD 平面 BHD , BD EG . 9分 解法 2 EF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ， BE 平面 AEB ， EF AE ， EF BE ， 又 AE EB , ,EB EF EA 两两垂直 . 5 分 以点 E 为坐标原点， ,EB EF EA 分别为 ,xyz 轴建立如图的空间直角坐标系 . 由已知得， A （ 0， 0， 2） ， B （ 2， 0， 0）， C （ 2， 4， 0）， F （ 0， 3， 0）， D （ 0， 2， 2）， G （ 2， 2， 0） . 6 分 (2, 2, 0)EGuuur ， ( 2, 2, 2 )BD uuur ， 7 分 2 2 2 2 0B D E G